Demo Mathematik#

Die folgenden Beispiele zeigen die Machbarkeit, mathematische Formeln, YouTube-Videos, WolframAlpha, Plots und GeoGebra in das interaktive Vorlesungsskript einzubinden.

Lernziele#

Lernziele

  • Einbinden von mathematischen Formeln

  • Einbinden von YouTube- oder Panopto-Videos

  • Einbinden von WolframAlpha

  • interaktive Plots mit Plotly

  • Einbinden von GeoGebra-Applets

Mathematische Formeln#

Jupyter Book verwendet MathJax zum Einbinden von mathematischen Formeln. Die mathematischen Ausdrücke werden in LaTeX-Schreibweise notiert. Mehr Informationen finden Sie in der Dokumentation - Math and equations.

Der folgende Text

Screenshot mit Markdown Code

wird dann zu

Ein Taylorpolynom ist eine Potenzreihe für eine Funktion \(f(x)\), bei der die Koeffizienten berechnet werden, indem die Entwicklungsstelle \(x_0\) in die Ableitungen der Funktion eingesetzt werden, also

\[T(x)=f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)^1 + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots. \]

Dabei steht \(n!\) für die Fakultät der Zahl \(n\).

Einbinden von YouTube- oder Panopto-Videos#

YouTube-Videos können mit IFrames eingebunden werden:

Das Beispiel entstammt übrigens der E-Vorlesung “Mathematische Methoden” der Universität Köln (siehe https://www.youtube.com/watch?v=Zsv0ylSHXYQ).

Genausogut funktioniert natürlich Panopto:

WolframAlpha#

Die IFrame-Technik ermöglicht es auch, WolframAlpha in das interaktive Vorlesungsskript einzubinden. Man könnte beispielsweise Studierende dazu auffordern, die Differentialgleichung

\[y'=5yx\]

mit WolframAlpha zu lösen:

Interaktive Grafiken#

Es ist auch möglich, interaktive Grafiken in das Skript einzubinden.

Beispielsweise kann die JavaScript-Bibliothek JSXGraph verwendet werden:

JSXGraph:

In der folgenden Datenvisualisierung (erstellt mit Python/Plotly) sehen Sie als Beispiel einen Paraboloiden

\[f(x,y) = x^2 + y^2,\]

dessen Plot sie drehen, zoomen und abspeichern können.

GeoGebra am Beispiel der Biegelinie#

Wir betrachten als nächstes ein klassisches Beispiel eines Randwertproblems aus der Technischen Mechanik. Ein Balken wird auf zwei Stützen gelagert und gleichmäßig belastet. Für die Biegelinie \(y(x)\), die die Auslenkung des Balkens an jeder Position \(x\) beschreibt, gilt die folgende Differentialgleichung:

\[y'' = -\frac{M_b}{EI}.\]

Die physikalischen Größen sind dabei das Biegemoment \(M_b\), der Elastizitätsmodul \(E\) und das Flächenmoment \(I\) des Balkenquerschnitts. Wirkt eine konstante Streckenlast \(q\) auf den Balken, so ist das Biegemoment

\[M_b(x) = \frac{1}{2}q(lx-x^2).\]

abhängig von der Position \(x\) und die Differentialgleichung lautet

\[y'' = - \frac{q}{2EI}(lx-x^2).\]

Die spezielle Lösung der Differentialgleichung für die Biegelinie lautet

\[y(x)=\frac{q}{24 EI}\left(x^4 -2lx^3 + l^3x\right).\]

Typische Biegesteifigkeiten für einen Vollstab mit 1 cm Durchmesser sind in der folgenden Tabelle gegeben:

Material

Biegesteifigkeit [N/m\(^2\)]

Aluminium

34

Hartgummi

2

Polypropylen

1

Mini-Übung

Wählen Sie eine Streckenlast von \(q=1 \frac{\text{N}}{\text{m}}\) und eine Balkenlänge von \(l = 1 \text{m}\). Was führt zu einer größeren Durchbiegung? Verdopplung der Streckenlast oder Verdopplung der Balkenlänge?

Überprüfen Sie Ihre Vermutung in dem folgenden GeoGebra-Applet, indem Sie die Schieberegeler für die Streckenlast \(q\) und die Balkenlänge \(l\) variieren.