11.2 Numerisches Rechnen mit MATLAB

11.2 Numerisches Rechnen mit MATLAB#

MATLAB ist als Matrix-Labor vor allem für das Rechnen mit Vektoren und Matrizen ausgelegt. Daher erkunden wir in diesem Kapitel die grundlegenen Datentypen und Rechenoperationen für Vektoren und Matrizen.

Lernziele#

Lernziele

Sie können einen Vektor oder eine Matrix in MATLAB erzeugen.
Sie wissen, wie Sie auf einzelne Elemente eines Vektors oder ein MAtrix zugreifen.
Sie beherrschen das Slicing in MATLAB.
Sie können grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren oder Matrizen ausführen.
Sie können mit MATLAB das Skalarprodukt oder das Vektorprodukt von Vektoren berechnen.
Sie können die Determinante, die Eigenwerte oder die Eigenvektoren einer Matrix berechnen.

Vektoren#

Vektoren sind sozusagen technisch gesehen Listen, die nur Zahlen enthalten, und für die die typischen Vektoroperationen definiert sind. Zunächst beschäftigen wir uns mit der Erzeugung von Vektoren.

Erzeugung Zeilenvektor#

Ein Vektor wird in MATLAB durch eckige Klammern [ ] erzeugt. Sie finden das Zeichen für die eckige Klammer auf der Taste mit der 8, das Zeichen für die eckige Klammer auf der Taste mit der 9. Zusätzlich müssen Sie die Taste Alt Gr drücken, um die eckigen Klammern auf der Tastatur einzugeben.

Betrachten wir ein Beispiel. Hier wird ein Vektor mit den Elementen 1, 2, 3, 4, 5 erzeugt und dann anschließend in der Variablen v gespeichert. Zur Trennung der einzelnen Elemente des Vektors verwenden wir das Komma. Tatsächlich würde MATLAB auch ein Leerzeichen als Trennung akzeptieren. Im Zusammenhang mit Matrizen ist aber das Komma einprägsamer, so dass wir beim Komma bleiben.

v = [1, 2, 3, 4, 5]

Erzeugung Spaltenvektor#

Der Vektor, so wie wir ihn bisher erzeugt haben, ist ein Zeilenvektor. Möchten wir ihn in einen Spaltenvektor umwandeln, so müssen wir ihn transponieren. Dafür steht in MATLAB der einzelne Hochstrich '.

a'

Soll direkt ein Spaltenvektor erzeugt werden, so verwenden wir das Semikolon anstatt des Kommas.

spaltenvektor = [1; 2; 3]

Einfache Rechenoperationen#

Mit Vektoren kann auch direkt gerechnet werden. Natürlich müssen dabei die Dimensionen der Vektoren übereinstimmen. Bei der folgenden Addition

a = [-1.5, 2, 3.7]
b = [0, -1, -1.7]
a + b

wird von MATLAB das Ergebnis [-1.5, 1, 2] berechnet und angezeigt. Die Subtraktion erfolgt analog.

Die Multiplikation a * b funktioniert jedoch nicht. Es erscheint eine Fehlermeldung. Das liegt daran, dass es eine direkte Multiplikation von Vektoren nicht gibt. Wir müssen erst entscheiden, ob elementweise multipliziert werden soll oder ob vielleicht das Skalarprodukt oder das Vektorprodukt gemeint ist.

Bei der elementweisen Multiplikation wird dem Mulitiplikationsoperator * ein Punkt . vorangestellt, also .*:

a .* b

Das Ergebnis ist dann der Vektor [0, -2.0000, -6.2900]. So funktioniert auch die elementweise Division. Dabei gibt es zwei Varianten:

a ./ b
a .\ b

Bei der ersten Variante wird jedes Element des Vektors a durch das entsprechende Element des Vektors b geteilt. Das bsteht in Nenner des Bruchstrichs /. Bei der zweiten Variante wird jedes Elemet des Vektors b durch die entsprechenden Elemente des Vektors a geteilt. Der Bruchstrich \ zeigt an, dass a im Nenner stehen soll.

Erzeugung eines Vektors mittels Doppelpunkt-Operator :#

Python verfügt über die Funktion range(), um Listen mit Zahlen zu erzeugen, die einem bestimmten Muster folgen. Diese Funktion wird in MATLAB so häufig gebraucht, dass sie sogar durch einen eigenen Operator anstatt einer Funktion erreicht wird, durch den Doppelpunkt-Operator :.

Eine Liste mit den Zahlen von 5 bis 11 wird folgendermaßen generiert:

a = 5 : 11

Auch hier ist eine Schrittweite versteckt enthalten. Der folgende Code erzeugt gerade Zahlen von 4 bis 12:

a = 4 : 2 : 12

So kann auch rückwärts gezählt werden.

a = 12 : -2 :  4

Das folgende Video fasst die obigen Erklärungen zusammen.

Matrizen#

MATLAB würde nicht Matrix-Labor heißen, wenn es nicht einen eigenen Datentyp für Matrizen gäbe. Tatsächlich speichert MATLAB intern Vektoren als Matrx ab. Ein Zeilenvektor ist eine \(1\times N\)-Matrix und ein Spaltenvektor eine \(M\times 1\)-Matrix. Daher betrachten wir uns als nächstes, wie Matrizen in MATLAB erzeugt werden.

Erzeugung von Matrizen#

Bei den Vektoren haben wir gelernt, Leerzeichen oder Komma, um Elemente eines Zeilenvektors aufzulisten, und Semikolon, um Elemente in einem Spaltenvektor voneinander abzugrenzen. Eine Matrix wird zeilenweise eingegeben. Das Semikolon markiert das Ende der Zeile.

A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]

Erzeugung von speziellen Matrizen#

Für Matrizen, die häufig gebraucht werden, hat MATLAB eigene Erzeugungsfunktionen. Beispielsweise generiert die Funktion

A = zeros(5,3)

eine Matrix, die nur die Zahl Null enthält und die 5 Zeilen und 3 Spalten hat. Analog dazu funktioniert das Kommando

A = ones(5,3)

das eine Matrix mit Einsen erzeugt, die 5 Zeilen und 3 Spalten hat. Sehr häufig gebraucht wird auch die Einheitsmatrix. Mit der Funktion eye(N) wird sie erzeugt, wobei der Parameter N die Dimension der quadratischen Matrix angibt.

E = eye(5)

Hier noch ein Video zu Matrizen in MATLAB.

Skripte#

Es ist umständlich, immer alles in das Kommandofenster einzugeben. Die Entwicklungsumgebung MATLAB bietet einen Texteditor, um ein sogenanntes Skript zu schreiben. Ein Skript ist wie ein Programm, also eine Aneinanderreihung von Anweisungen an den MATLAB-Interpreter. Es wird als Text abgespeichert und trägt die Dateiendung .m. Am einfachsten starten Sie den Editor, indem Sie auf New Script klicken.

Screenshot MATLAB mit "New Script" — Fig. 18 Screenshot MATLAB mit dem Button “New Script”#

Sobald MATLAB den Texteditor öffnet, verändert sich das Layout von MATLAB. Das Kommandofenster rutscht nach unten und wird kleiner, wohingegen der Texteditor nun den größten Raum einnimmt.

Screenshot MATLAB mit Texteditor — Fig. 19 Screenshot MATLAB mit geöffnetem Texteditor; ein Skript wird ausgeführt, indem auf den Button “Run” geklickt wird (siehe 3)#

Das Skript wird ausgeführt, indem Sie auf den Button “Run” klicken (siehe Screenshot, 3). Es ist ratsam, am Anfang des Skriptes den Befehl clear all einzufügen. Diese Anweisung sorgt dafür, dass alle sich im Speicher befindlichen Variablen gelöscht werden.

Ein weiteres Video zu Skripten in MATLAB finden Sie hier.

Zugriff auf Vektor- und Matrixelemente#

Der Zugriff auf die Elemente eines Vektors erfolgt durch Angabe des Index des Elements in runden Klammern. Beachten Sie, dass MATLAB im Gegensatz zu vielen anderen Programmiersprachen einen Index verwendet, der bei 1 beginnt. Das folgende Beispiel zeigt, wie auf das dritte Element des Vektors zugegriffen wird.

a = [1, 2, 3, 4, 5]
drittes_element = a(3)

Soll hingegen auf Elemente einer Matrix zugefriffen werden, müssen wir die Zeile und die Spalte über den jeweiligen Index angeben. Auf die zweite Zeile und die dritte Spalte wird folgendermaßen zugegriffen.

A = [1, 2, 3, 4, 5; 6, 7, 8, 9, 10; 11, 12, 13, 14, 15]
element = A(2,3)

Damit wird die 8 aus der Matrix A extrahiert und kann weiter verarbeitet werden.

Was aber, wenn wir auf ganze Zeilen oder ganze Spalten zugreifen möchten? Dazu existiert das sogenannte Slicing. Mit Slicing ist gemeint, dass auf einen zusammenhängenden Bereich des Vektors oder der Matrix zugegriffen werden soll. Wir betrachten die \(3\times 5\)-Matrix \(A\) von vorhin, also

A = [1, 2, 3, 4, 5; 6, 7, 8, 9, 10; 11, 12, 13, 14, 15]

Um jetzt einen zusammenhängenden Bereich aus der Matrix zu extrahieren, verwenden wir den Doppelpunkt-Operator ‘:’. Mit

A(1, :)

greifen wir auf Elemente der ersten Zeile zu und gehen dabei in der Spalte von Anfang bis Ende, da vor dem Doppelpunkt und nach dem Doppelpunkt nichts steht. Das Ergebnis ist also die komplette erste Zeile [1, 2, 3, 4, 5]. Möchten wir in der ersten Zeile von der zweiten Spalte zur vierten Spalte auf die Elemente der Matrix zugreifen, schreiben wir den Startindex vor den Doppelpunkt und den Stoppindex nach dem Doppelpunkt.

A(1, 2:4)

Das Ergebnis sind die Elemente [2, 3, 4]. Diese Vorgehensweise funktioniert auch für die Zeile. Der folgende MATLAB-Code extrahiert die komplette zweite und dritte Zeile.

A(2:3, :)

Das Ergebnis ist


    6     7     8     9    10 

    11    12    13    14    15

Das Slicing kann auch verwendet werden, um Teile einer Matrix zu ändern. Nehmen wir an, wir möchten die zweite Spalte von A durch die Zahlen 102, 107 und 112 ersetzen. Wir könnten durch den folgenden Code erreichen.

A(:, 2) = [102; 107; 112]

Die folgenden beiden Videos fassen zunächst den Doppelpunktoperator und dann das Slicing zusammen.

Fortgeschrittene Rechenoperationen für Vektoren und Matrizen#

Das Skalarprodukt ist eine grundlegende Operation in der linearen Algebra. Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird durch die Multiplikation der entsprechenden Komponenten der Vektoren und die Summierung dieser Produkte berechnet.

In MATLAB wird das Skalarprodukt von zwei Vektoren mit der Funktion dot() berechnet:

v = [1, 2, 3]
w = [4, 5, 6]
skalarprodukt = dot(v, w)

Das Ergbnis ist \(1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32\).

Das Vektorprodukt, auch bekannt als Kreuzprodukt, ist eine weitere wichtige Operation in der linearen Algebra, die speziell auf dreidimensionale Vektoren angewendet wird. Das Vektorprodukt von zwei Vektoren ist ein Vektor, dessen Länge/Betrag dem Flächeninhalt des Rechtecks entspricht, das durch die beiden Vektoren aufgespannt wird. Die Richtung des Vektorprodukts ist dadurch definiert, dass der Vektor senkrecht zu beiden Vektoren steht und mit ihnen ein Rechtssytem bildet.

In MATLAB wird das Vektorprodukt mit der Funktion cross() berechnet:

v = [1, 2, 3]
w = [4, 5, 6]
vektorprodukt = cross(v, w)

Das Vektorprodukt ist der Vektor [-3, 6, -3].

Die Determinante ist ein spezieller Wert, der nur für quadratische Matrizen definiert ist. Sie ist ein nützlicher Indikator für viele Eigenschaften der Matrix, einschließlich der Frage, ob die Matrix invertierbar ist und ob das lineare Gleichungssystem, das sie repräsentiert, Lösungen hat.

In MATLAB wird die Determinante einer Matrix mit der Funktion det() berechnet:

A = [1, 2; 3, 4]
det_A = det(A)

Die Determinante der obigen Matrix \(A\) ist \(\det(A) = 1\cdot 4 - 3\cdot 2 = -2\).

Eigenwerte und Eigenvektoren sind weitere wichtige Konzepte in der linearen Algebra, die in vielen Anwendungen, einschließlich der Maschinenbauingenieurswissenschaften, der Informatik und der Datenanalyse, nützlich sind. Die Eigenwerte einer Matrix sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung

\[\det(A-\lambda E) = 0,\]

wobei \(E\) die Einheitsmatrix der passenden Dimension ist. Zu jedem Eigenwert \(\lambda\) kann dann der Eigenvektor \(\vec{v}\) berechnet werden, der die Gleichung

\[A\cdot \vec{v} = \lambda \vec{v}\]

erfüllt. Ein Eigenvektor ist also ein Vektor, der sich bei der Anwendung einer linearen Transformation (repräsentiert durch die Matrix) nur um einen Skalierungsfaktor ändert.

In MATLAB werden Eigenwerte und Eigenvektoren mit der Funktion eig() berechnet:

A = [1, 2; 3, 4]
[V, D] = eig(A)

In diesem Beispiel gibt der Code die Matrix V der Eigenvektoren und die Diagonalmatrix D aus. Jede Spalte in V ist ein Eigenvektor, und die entsprechenden Eigenwerte sind die Elemente auf der Diagonale in D.

Für weitere Betrachtungen empfehle ich die folgenden beiden Videos.