3.6 Linearkombination und lineare Unabhängigkeit

3.6 Linearkombination und lineare Unabhängigkeit#

In der Technischen Mechanik werden Kräfte oft zerlegt. Die Grundlage dafür bilden Linearkombinationen und eindeutige Darstellungen der Zerlegungen, die nur bei den sogenannten linear unabhängigen Vektoren möglich sind. Daher werden wir uns in diesem Kapitel damit näher beschäftigen.

Lernziele#

Lernziele

Sie wissen, was eine Linearkombination von Vektoren ist.
Sie wissen, was linear abhängige und linear unabhängige Vektoren sind.
Sie können auch testen, ob gegebene Vektoren linear unabhängig sind.

Linearkombination#

Werden mehrere Vektoren mit einem Skalar multipliziert und dann summiert, so nennt man das Ergebnis eine Linearkombination. Im einfachsten Fall werden zwei Vektoren linear kombiniert, wie in dem folgenden Beispiel die beiden Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\):

\[3\cdot\vec{v} + (-1.5)\cdot \vec{w}.\]

Das Ergebnis ist wieder ein Vektor. Wenn wir mehrere Vektoren haben, z.B. \(m\) Stück, die wir \(\vec{v}_1\in\mathbb{R}^n\), \(\vec{v}_2\in\mathbb{R}^n\) bis \(\vec{v}_m\in\mathbb{R}^n\) nennen, und entsprechend viele Skalare \(s_1, s_2, \ldots, s_m\), dann ist die Linearkombination

\[\vec{w} = s_1\vec{v}_1 + s_2\vec{v}_2 + \ldots + s_m\vec{v}_m.\]

Interpretieren wir die Linearkombination geometrisch, bedeutet das, dass wir die Verschiebung \(\vec{v}_1\) mit \(s_1\) strecken oder stauchen, dann die Verschiebung \(\vec{v}_2\) mit \(s_2\) strecken oder stauchen und an das Ende von \(s_1\vec{v}_1\) dranhängen und immer so weiter.

Linearkombination berechnen#

Wenn die Vektoren und die Skalare der Linearkombination gegeben sind, ist es einfach, den entsprechenden resultierenden Vektor zu berechnen. Interessant für technische Anwendungen ist jedoch vor allem die umgekehrte Fragestellung. Wenn die Vektoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\) bis \(\vec{v}_m\) gegeben sind, wie müssen sie skaliert werden, so dass der Vektor \(\vec{w}\) herauskommt? Welchen Wert haben die Skalare \(s_1\) bis \(s_m\)?

Bleiben wir bei einer Linearkombination mit zwei Vektoren:

\[\begin{split}s_1\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s_2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ 3 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Wir können die Gleichung komponentenweise in Form eines linearen Gleichungssystems hinschreiben:

\[\begin{align*} 2\cdot s_1 + 3\cdot s_2 &= 19 \\ -1\cdot s_1 + 1\cdot s_2 &= 3 \end{align*}\]

Lösen des Gleichungssystems liefert \(s_1 = 2\) und \(s_2 = 5\), also

\[\begin{split}2\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 5 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ 3 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Lineare Unabhängigkeit#

Wenn wir in dem obigen Beispiel einen dritten Vektor in die Linearkombination einfügen, so können wir den Skalar davor Null setzen, denn die ersten beiden Vektoren erfüllen ja schon die Gleichung:

\[\begin{split}2\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 5 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 19 \\ 3 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Wir könnten jetzt die Skalare aber auch komplett anders wählen, die folgende Linearkombination ergibt den gleichen resultierenden Vektor:

\[\begin{split}0\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 6 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ 3 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Es ist nicht verwunderlich, dass nach Einfügen des 3. Vektors die Skalare beliebig gewählt werden können, da bereits der 3. Vektor eine Linearkombination der ersten beiden ist:

\[\begin{split}(-2)\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Wenn ein Vektor \(\vec{1}\) als Linearkombination von anderen Vektoren \(\vec{v}_2\), \(\vec{v}_3\) bis \(\vec{v}_m\) dargestellt werden kann, dann nennt man diese Vektoren linear abhängig. Das Gegenteil davon heißt linear unabhängig. Die genaue mathematische Definition ist wie folgt:

Ist \(V\) ein reeller Vektorraum, dann heißen die Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_m\) aus \(V\) linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Linearkombination des Nullvektors

\[s_1\cdot\vec{v}_1 + s_2 \cdot \vec{v}_2 + \ldots + s_n \vec{v}_m = \vec{0}\]

bedeutet, dass alle Skalare Null sind, also \(s_1 = s_2 = \dots = s_m = 0\) folgt.

Zusammenfassung und Ausblick#

Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit werden uns zu dem nächsten mathematischen Konzept führen, der Basis von Vektorräumen.