11.6 Integralfunktionen und das uneigentliche Integral

11.6 Integralfunktionen und das uneigentliche Integral#

Das bestimmte Intgeral liefert eine Zahl. Wir können das bestimmte Integral auch dazu nutzen, eine neue Funktion einzuführen, indem wir die untere Grenze auf einen festen Wert setzen und die obere Grenze als Variable betrachten. Damit erhalten wir die sogenannte Integralfunktion.

Lernziele#

Lernziele

  • Sie wissen, was eine Integralfunktion ist.

  • Sie kennen uneigentliche Integrale.

Was ist die Integralfunktion?#

Wenn wir einen Punkt \(a\in\mathbb{R}\) festlegen, dann ist das bestimmte Integral

\[\int_{a}^{x} f(t)\, dt\]

eine Funktion, denn für jeden Wert \(x\in\mathbb{R}\) wird durch diese Vorschrift ein Funktionswert

\[I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt\]

erzeugt. Wichtig dabei ist, dass die untere Grenze \(a\) festgelegt ist. Diese Funktion wird Integralfunktion genannt.

Weitere Informationen finden Sie hier:

Uneigentliche Integrale#

Uneigentliche Integrale treten auf, wenn ein Integral entweder eine oder zwei unendliche Grenzen hat oder wenn der Integran unstetig ist. Das uneigentliche Integral ist eine Erweiterung des bestimmten Integrals und erlaubt die Analyse von Flächeninhalten oder Summen, die auf den ersten Blick divergieren könnten.

Wir gehen jetzt davon aus, dass \(f\) eine Funktion ist, die auf jedem Intervall \([a,b]\) mit \(b\in (a,\infty)\) definiert ist. Wenn der Grenzwert

\[\lim_{t \to b}\int_{a}^{t} f(x)\, dx\]

existiert, dann nennt man

\[\int_{a}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to b}\int_{a}^{t} f(x)\, dx\]

das uneigentliche Integral von \(f\) über \([a,\infty)\).

Falls die untere Grenze unendlich sein sollte, wird analog vorgegangen. Ebenso wird das Integral über einen Grenzwert definiiert, wenn der Integrand ein einzelnen Stellen unstetig sein sollte.

Weitere Informationen finden Sie hier:

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