12.4 Monotonie und Krümmung#
Als nächstes betrachten wir Monotonie und Krümmung.
Lernziele#
Lernziele
Sie wissen, was höhere Ableitungen sind.
Die erste Ableitung an der Stelle \(x_0\) beschreibt das Monotonieverhalten einer Funktion \(f\) in der unmittelbaren Umgebung von \(x_0\). Ist \(f'(x_0)<0\), dann fällt die Funktion. Ist \(f'(x_0)>0\), dann wächst die Funktion.
Die zweite Ableitung an der Stelle \(x_0\) beschreibt das Krümmungsverhalten der Funktion in der näheren Umgebung von \(x_0\). Ist \(f''(x_0)<0\), so haben wir Rechtskrümmung. Ist \(f''(x_0)>0\), so Linkskrümmung.
Höhere Ableitungen#
Ist die Ableitung \(f'\) einer Funktion wiederum differenzierbar, so bezeichnen wir ihre Ableitung als zweite Ableitung von \(f\) und notieren sie mit zwei Strichen: \(f''\). Ist nun die zweite Ableitung wiederum differenzierbar, dann bezeichnen wir ihre Ableitung als dritte Ableitung: \(f'''\). Alternativ dürfen diese sogenannten höheren Ableitungen auch mit einer Zahl notiert werden:
Ab der vierten Ableitung sind nur noch Zahlen üblich: \(f^{(4)}, f^{(5)}, \ldots\).
Beispiel: Das Polynom vierten Grades
ist unendlich oft differenzierbar. Die ersten sieben Ableitungen lauten:
Monotonie#
Den Begriff Monotonie haben wir schon bei Folgen kennengelernt. Bei Funktionen wird Monotonie analog definiert.
Wir betrachten alle Stellen \(x_1\) und \(x_2\) mit der Eigenschaft \(x_1 < x_2\). Dann vergleichen wir die zugehörigen Funktionswerte \(f(x_1)\) und \(f(x_2)\). Je nachdem, wie der Vergleich ausfällt, führen wir die folgenden Bezeichnungen ein:
\(f\) ist streng monoton fallend, wenn \(f(x_1) > f(x_2)\),
\(f\) ist monoton fallend, wenn \(f(x_1) \geq f(x_2)\),
\(f\) ist streng monoton wachsend, wenn \(f(x_1) < f(x_2)\) und
\(f\) ist monoton wachsend, wenn \(f(x_1) \leq f(x_2)\).
Manchmal wird auch der Begriff steigend für wachsend verwendet und strikt für streng. Eine Funktion kann aber keine der vier oben genannten Monotonieeigenschaften haben.
Ist eine Funktion differenzierbar, dann können wir das Monotonieverhalten mit der ersten Ableitung bestimmen:
Ist \(f'(x)>0\) für alle \(x\), dann wächst \(f\) streng mononton.
Ist \(f'(x)<0\) für alle \(x\), dann fällt \(f\) streng monoton.
Die Umkehrung gilt nicht. Es gibt auch streng monotone Funktionen, bei der die erste Ableitung Null wird. Beispielsweise ist die Funktion \(f(x)=x^3\) streng monoton wachsend, aber die erste Ableitung an der Stelle \(x_0 = 0\) wird Null.
Video “Monotonie” von Mathematrick
Krümmung#
Die Krümmung beschreibt die Veränderung der Steigung. Wir unterscheiden zwischen links- und rechtsgekrümmten Funktionen bzw. eine Funktion kann auch gar keine Krümmung haben. Befinden wir uns an der Stelle \(x_0\) und ist die Funktion \(f\) zwei differenzierbar, dann können wir die Krümmung durch die zweite Ableitung beschreiben:
\(f''(x_0) < 0\): rechtsgekrümmt, die Steigung nimmt ab
\(f''(x_0) > 0\): linksgekrümmt, die Steigung nimmt zu
Wietere Details finden Sie und in dem nachfolgenden Video.
Video “Krümmung einer Funktion” von Mathematrick
Zusammenfassung und Ausblick#
Die Eigenschaften Monotonie und Krümmung fokussieren sich auf das generelle Verhalten einer Funktion auf einem Intervall. In den nächsten Kapiteln betrachten wir einezelne Punkte, die von besonderer Bedeutung für einen Funktionsgraphen sind.