7.6 Eigenwerte und Eigenvektoren von 3x3-Matrizen

7.6 Eigenwerte und Eigenvektoren von 3x3-Matrizen#

In diesem Kapitel werden wir die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren für \(3 \times 3\)-Matrizen Schritt für Schritt erläutern und praktische Beispiele vorstellen.

Lernziele#

Lernziele

Sie können die Eigenwerte und Eigenvektoren einer \(3\times 3\)-Matrix berechnen.

Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren#

Auch für \(3\times 3\)-Matrizen bleibt die Definition eines Eigenwertes und von eigenvektoren gleich. Eine quadratische Matrix \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) hat einen Eigenvektor \(\vec{v} \neq \vec{0}\), wenn gilt:

\[ \mathbf{A} \vec{v} = \lambda \vec{v}. \]

Dabei ist \(\lambda\) ein Eigenwert von \(\mathbf{A}\) und \(\vec{v}\) ist der zugehörige Eigenvektor.

Berechnung der Eigenwerte für \(3\times 3\)-Matrizen#

Auch die Vorgehensweise bei der Berechnung der Eigenwerte bleibt gleich. Um die Eigenwerte einer \(3 \times 3\)-Matrix zu berechnen, müssen wir die charakteristische Gleichung lösen. Diese Gleichung ergibt sich aus der Determinante der Matrix \(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}\), wobei \(\mathbf{E}\) die Einheitsmatrix ist:

\[ \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) = 0. \]

Für eine Matrix

\[\begin{split}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\end{split}\]

ergibt sich die charakteristische Gleichung

\[\begin{split} \det \begin{pmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda \end{pmatrix} = 0. \end{split}\]

Diese Gleichung ist ein Polynom dritten Grades für \(\lambda\), dessen Lösungen die Eigenwerte der Matrix \( \mathbf{A}\) sind. Der einzige Unterschied zur Berechung der Eigenwerte für \(2\times 2\)-Matrizen ist also, dass die charakteristische Gleichung mit einem Polynom dritten anstatt zweiten Grades gebildet wird.

Gegeben sei beispielhaft die Matrix

\[\begin{split} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Die charakteristische Gleichung lautet:

\[\begin{split} \det\begin{pmatrix} 5 - \lambda & -1 & 2 \\ -1 & 5 - \lambda & 2 \\ 2 & 2 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = 0.\end{split}\]

Die Berechnung der Determinante ergibt:

\[ -\lambda^3+12\lambda^2-36\lambda = 0 \]

Es liegt ein Polynom dritten Grades vor, dessen Nullstellen \(\lambda_1 = 6\), \(\lambda_2 = 6\) und \(\lambda_3 = 0\) die Lösung der charakteristischen Gleichung und damit die gesuchten Eigenwerte sind.

Berechnung der Eigenvektoren#

Sobald die Eigenwerte \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) gefunden sind, können die zugehörigen Eigenvektoren durch Lösen des Gleichungssystems

\[ (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E})\cdot\vec{v} = \vec{0} \]

bestimmt werden. Für jeden Eigenwert \(\lambda\) ergibt dieses System eine oder mehrere Lösungen, die die Eigenvektoren der Matrix darstellen.

Kehren wir zurück zu dem obigen Beispiel. Für den Eigenwert \(\lambda_1 = 6\) lösen wir das Gleichungssystem:

\[ (\mathbf{A} - 6 \mathbf{E}) \cdot \vec{v} = \vec{0}. \]

Die Matrix \(\mathbf{A} - 6 \mathbf{E}\) lautet:

\[\begin{split} \mathbf{A} - 6 \mathbf{E} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Durch Lösen des linearen Gleichungssystems erhalten wir den Eigenvektor

\[\begin{split}\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Wir haben diesmal darauf verzichtet, die Menge alle Eigenvektoren mit einem Parameter darszustellen, sondern stattdessen einen Repräsentanten gewählt. Alle weiteren Eigenvektoren zu \(\lambda_1 = 6\) sind Vielfache von \(\vec{v}_1\).

Für \(\lambda_2 = 6\) und \(\lambda_3 = 0\) führen wir ähnliche Berechnungen durch und erhalten die Eigenvektoren

\[\begin{split}\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \; \text{ und } \; \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Ein weiteres Beispiel wird in dem folgenden Video vorgerechnet.

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben wir gezeigt, wie die Eigenwerte und Eigenvektoren einer \(3 \times 3\)-Matrix berechnet werden. Die Berechnung der Eigenwerte erfolgt durch das Lösen der charakteristischen Gleichung, während die Eigenvektoren durch Lösen eines homogenen Gleichungssystems bestimmt werden. Weitere Themen der linearen Algebra werden wir hier nicht mehr behandeln. Stattdessen kehren wir im nächsten Kapitel in die Analysis zurück.