8.5 Komplexe Zahlen in Exponentialform

8.5 Komplexe Zahlen in Exponentialform#

Im vorherigen Kapitel haben wir die trigonomtrische Form der komplexen Zahlen kennengelernt. Ihr Vorteil ist, dass Multiplikation und Division in dieser Form leicht berechnet und geometrisch interpretiert werden können. Auch die Exponentialform basiert auf der Darstellung einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten, wie wir in diesem Kapitel lernen werden. Der Vorteil der Exponentialform ist, dass die Berechnung von Potenzen oder Wurzeln in dieser Darstellung leicht gelingt.

Lernziele#

Lernziele

Sie kennen die eulersche Formel

\[e^{\varphi \mathrm{i}} = \cos(\varphi) + \sin(\varphi)\,\mathrm{i}\]

auswendig.
Sie können eine komplexe Zahl in der Exponentialform darstellen.
Sie können eine komplexe Zahl von der trigonometrischen Form in die Exponentialform umrechnen und umgekehrt.

Die eulersche Formel führt zur Exponentialform#

Im vorherigen Kapitel haben wir die Darstellung komplexer Zahlen in trigonometrischer Form kennengelernt. Jede komplexe Zahl \(z\) kann durch ihren Betrag \(r\) und ihr Argument \(\varphi\) beschrieben werden:

\[z = r \, \big( \cos(\varphi) + \sin(\varphi) \, \mathrm{i}\big).\]

Der Mathematiker Leonhard Euler hat herausgefunden, dass für alle Argumente \(\varphi\) die sogenannte eulersche Formel

\[e^{\varphi \mathrm{i}} = \cos(\varphi) + \sin(\varphi)\,\mathrm{i}\]

gilt. Mit der eulerschen Formel folgt sofort, dass eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form als

\[\begin{align*} z &= r \, \left( \cos(\varphi) + \sin(\varphi) \, \mathrm{i}\right) \\ &= r \, e^{\varphi \mathrm{i}} \\ \end{align*}\]

geschrieben werden kann. Diese Darstellung mit der komplexen Exponentialfunktion wird Exponentialform genannt.

Was ist … die Exponentialform?

Die Exponentialform ist eine alternative Schreibweise einer komplexen Zahl \(z\). In Exponentialform wird eine komplexe Zahl geschrieben als

\[z = r \, e^{\varphi \mathrm{i}}.\]

Dabei ist \(r\) der Betrag der komplexen Zahl (also \(r = |z|\)) und \(\varphi\) ihr Argument.

Multiplikation und Division in der Exponentialform#

Liegen zwei komplexe Zahlen in der Exponentialform vor, so können für die Multiplikation und Division die Potenzgesetze genutzt werden. Lautet die erste komplexe Zahl

\[z_1 = r_1 \, e^{\varphi_1 \mathrm{i}}\]

und die zweite komplexe Zahl

\[z_2 = r_2 \, e^{\varphi_2 \mathrm{i}},\]

dann werden für ihr Produkt die Beträge multipliziert und die Argumente addiert:

\[z_1 \cdot z_2 = r_1 \, r_2 \; e^{(\varphi_1 + \varphi_2) \, \mathrm{i}}.\]

Für die Division gilt dann

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \; e^{(\varphi_1 - \varphi_2) \, \mathrm{i}}.\]

Die Potenzgesetze werden wir auch für das Potenzieren einer komplexen Zahl ausnutzen, wie wir im nächsten Kapitel lernen werden. Zunächst halten wir noch einen häufig benutzten Zusammenhang zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen fest.

Trigonometrische Funktionen und die komplexe Exponentialfunktion#

Mit einem kleinen Rechentrick können wir aus den beiden komplexen Zahlen \(e^{\varphi \, \mathrm{i}}\) und \(e^{- \varphi \, \mathrm{i}}\) den Kosinus erzeugen. Wir addieren die beiden und wechseln in die trigonomterische Form:

\[ e^{\varphi \, \mathrm{i}} + e^{-\varphi \, \mathrm{i}} = \cos(\varphi) + \sin(\varphi) \, \mathrm{i} + \cos(-\varphi) + \sin(-\varphi) \, \mathrm{i} \]

Da die Kosinus-Funktion gerade ist, gilt aber

\[\cos(-\varphi) = \cos(\varphi).\]

Und da die Sinus-Funktion ungerade ist, gilt

\[\sin(-\varphi) = - \sin(\varphi).\]

Daher wird aus der Summe insgesamt

\[e^{\varphi \, \mathrm{i}} + e^{-\varphi \, \mathrm{i}} = 2\cdot\cos(\varphi).\]

Das können wir noch auf beiden Seiten durch 2 teilen und erhalten

\[\frac{1}{2} \big( e^{\varphi \, \mathrm{i}} + e^{-\varphi \, \mathrm{i}} \big) =\cos(\varphi).\]

Ein ähnliche Rechnung können wir für

\[e^{\varphi \, \mathrm{i}} - e^{-\varphi \, \mathrm{i}} = 2 \, \mathrm{i} \, \sin(\varphi)\]

durchführen. Insgesamt erhalten wir die beiden folgenden Darstellungen der Kosinus- und Sinus-Funktion.

Wie können Kosinus/Sinus durch komplexe Exponentialfunktionen dargestellt werden?

Der Kosinus und der Sinus lässt sich folgendermaßen durch komplexe Exponentialfunktionen darstellen:

\[\begin{align*} \cos(\varphi) &= \frac{1}{2} \big( e^{\varphi \, \mathrm{i}} + e^{-\varphi \, \mathrm{i}} \big), \\ \sin(\varphi) &= \frac{1}{2\mathrm{i}} \big( e^{\varphi \, \mathrm{i}} - e^{-\varphi \, \mathrm{i}} \big). \end{align*}\]

Weiteres Lernmaterial#

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben wir eine weitere Darstellungsform für komplexe Zahlen kennengelernt. In dieser Darstellung lassen sich Multiplikation und Division leicht durchführen, so leicht wie auch in der trigonometrischen Form. Der große Vorteil der Exponentialform wird erst beim Potenzieren ersichtlich werden, was wir im nächsten Kapitel behandeln werden.