5.1 Geraden#
Bisher haben wir Geraden in einer Ebene betrachtet. In diesem Kapitel wollen wir Geraden im dreidimensionalen euklidischen Raum \(\mathbb{R}^3\) kennenlernen.
Lernziele#
Lernziele
Sie können eine Geradengleichung aufstellen, wenn ein Punkt und ein Richtungsvektor gegeben sind. Diese Form der Geradengleichung nennt man Parameterdarstellung einer Geraden.
Sie können eine Geradengleichung aufstellen, wenn zwei Punkte gegeben sind.
Parameterdarstellung einer Geraden#
Eine Gerade ist eine unendlich lange, unendlich dünne, gerade Linie. Sie kann als eine Menge von unendlichen vielen Punkten beschrieben werden. Gehen wir zunächst einmal davon aus, dass wir einen Punkt kennen, der Teil der Gerade ist. Diesen Punkt nennen wir \(P\). Kennen wir einen zweiten Punkt \(Q\), der Teil der Gerade ist, dann können wir den sogenannten Richtungsvektor \(\vec{u}\) einführen, der die beiden Punkte \(P\) und \(Q\) verbindet:
Dann können wir jeden Punkt \(X\) der Gerade erreichen, indem wir bei \(P\) starten und ein Vielfaches des Richtungsvektors \(\vec{u}\) addieren. Wir schreiben
mit dem Parameter \(s\in\mathbb{R}\).
Für jeden Wert des Parameters \(s\) erhalten wir einen anderen Punkt auf der Geraden und umgekehrt. Um diese Abhängigkeit vom Parameter \(s\) auszudrücken, wird auch manchmal die folgende Notation verwendet:
Wie lautet … die Parameterdarstellung der Geraden?
Eine Gerade \(g\) ist eine Menge aus Punkten, die sich schreiben lässt als
Wir notieren auch kurz \(g: X = P + s\cdot\vec{v}, \; s\in\mathbb{R}\).
Das folgende Video erklärt die Parameterdarstellung einer Gerade. Bei Zeitmarke 3:20 min können Sie das Video stoppen, da wir die Lage von Geraden erst in einem späteren Kapitel behandeln werden.
Video “Geraden im Raum” von Flip the Classroom
Zusammenfassung und Ausblick#
Nachdem wir hier die Parameterdarstellung einer Gerade kennengelernt haben, werden wir uns im nächsten Kapitel mit Ebenen beschäftigen. Auch bei Ebenengleichungen gibt es eine Parameterdarstellung. Für viele geometrische Anwendungen ist aber eine alternative Darstellung zweckmäßiger, die sogenannte Normalengleichung, eine parameterfreie Gleichung zur Beschreibung einer Ebene.