12.5 Extremwerte#
In diesem Kapitel betrachten wir einzelne Punkte des Funktionsgraphens, die eine besondere Bedeutung haben. Um diese Punkt zu berechnen, sind Ableitungen nützlich.
Lernziele#
Lernziele
Sie wissen, was ein lokales Minimum und ein lokales Maximum sind.
Sie kennen die Bedingungen für ein Minimum, wenn die Funktion differenzierbar ist.
Sie kennen die Bedingungen für ein Maximum, wenn die Funktion differenzierbar ist.
Minimum und Maximum#
Als nächstes betrachten wir die Funktion
im Intervall \(0.1 \leq x \leq 1.1\). Der Funktionsgraph ist in der folgenden Abbildung visualisiert.
Fig. 23 Quelle: Georg-Johann - Eigenes Werk, Gemeinfrei, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11692680#
In diesem Intervall hat die Funktion je ein lokales und globales Minimum und je ein lokales und globales Maximum. Ein lokales Minimum ist ein Funktionswert \(f(x_0)\), so dass in einer Umgebung um die Stelle \(x_0\) alle Funktionswerte größer oder gleich als \(f(x_0)\) sind. Ist dieser Funktionswert sogar kleiner (oder gleich) als alle anderen Funktionswerte für alle \(x\) aus der Definitionsmenge, dann nennt man diesen Funktionswert globales Minimum. Der Punkt \((x_0, f(x_0))\) wird dann Tiefpunkt genannt.
Die Begriffe lokales Maximum und globales Maximum sind analog definiert. Bei einem lokalen Maximum \(f(x_0)\) sind die Funktionswerte in einer Umgebung von \(x_0\) alle kleiner oder gleich diesem Funktionswert. Gilt das sogar für alle \(x\) aus der Definitionsmenge, dann sprechen wir von einem globalen Maximum. Der Punkt \((x_0, f(x_0))\) wird dann Hochpunkt genannt.
Wenn man allgemein von einem Minimum oder einem Maximum sprechen möchte, verwendet man den Begriff Extremum oder Extremwert. Der Plural dieser Fachbegriffe lautet Minima, Maxima und Extrema.
Vorzeichenwechselkriterium#
Wenn eine Funktion differenzierbar ist, ist die Steigung der Tangente an einer Extremstelle 0. Es gilt also
Bei differenzierbaren Funktionen ist es notwendig, dass die erste Ableitung am Extremum verschwindet, aber diese Bedingung ist nicht hinreichend. Bei der Funktion \(f(x)=x^3\) ist die erste Ableitung \(f'(x)=3x^2\) an der Stelle \(x_0\) auch Null, aber diese Funktion hat an dem Punkt \((0,0)\) kein Extremum. Zusätzlich zu der Bedingung \(f'(x)=0\) muss noch das Vorzeichen in einer Umgebung von \(x_0\) wechseln.
Bei einem Minimum wechselt das Vorzeichen der ersten Ableitung von Minus nach Plus, d.h. gilt zusätzlich
dann hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum.
Bei einem lokalen Maximum erfolgt der Wechsel von Plus nach Minus, also
Kriterium mit 2. Ableitung#
Ist die Funktion zweimal differenzierbar, können wir alternativ zum Vorzeihenwechselkriterium auch die zweite Ableitung nutzen, um Extremstellen zu berechen. Es gilt:
Wenn \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) < 0\), dann hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Maximum \(f(x_0)\) bzw. einen Hochpunkt \((x_0, f(x_0))\).
Wenn \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\), dann hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum \(f(x_0)\) bzw. einen Teifpunkt \((x_0, f(x_0))\).
Video “lokale Extrema: notwendige Bedingung” von Mathematische Methoden
Video “lokale Extrema: hinreichende Bedingung” von Mathematische Methoden
Video “lokale Extrema: Vorzeichenwechselkriterium” von Mathematische Methoden
Weiteres Material finden Sie hier:
Zusammenfassung und Ausblick#
Für die Fuktion \(f(x)=x^3\) haben wir schon festgestellt, dass die erste Ableitung Null ist, aber trotzdem dort kein Extremum vorliegt. Auch die zweite Ableitung ist an dieser Stelle Null und die Krümmung wechselt dort. Solche Wendestellen betrachten wir im nächsten Kapitel.