6.4 Skalarmultiplikation

Anstatt eine Matrix mehrfach zu sich selbst zu addieren, können wir dies durch die Multiplikation mit einem Skalar vereinfachen. In diesem Kapitel betrachten wir daher die Skalarmultiplikation und die dazugehörigen Rechenregeln.

Lernziele

Lernziele

• Sie sind in der Lage, eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren, also eine Skalarmultiplikation durchführen.

• Sie können die Differenz zweier Matrizen berechnen, also Matrizen subtrahieren.

• Sie beherrschen die Rechenregeln für die Addition von Matrizen und für die Skalarmultiplikation, insbesondere

  • das Kommutativgesetz:

    \[\begin{equation*}\mathbf{A}+\mathbf{B} = \mathbf{B}+\mathbf{A}\end{equation*}\]

  • das Assoziativgesetz:

    \[\begin{equation*}(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C} = \mathbf{A} + (\mathbf{B}+\mathbf{C}),\end{equation*}\]

  • und das Distributivgesetz für die Skalarmultiplikation:

    \[\begin{align*} (s+t)\cdot\mathbf{A} &= s\cdot\mathbf{A}+t\cdot\mathbf{A}\\ s\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B}) &= s\cdot\mathbf{A} + s\cdot\mathbf{B}\\ \end{align*}\]

Skalar mal Matrix

Wir greifen erneut das Beispiel auf, bei dem Fußballspieler sich gegenseitig Pässe zuspielen und die Pässe mitprotokolliert werden, damit die Spielerleistungen statistisch ausgewertet werden können. Diesmal betrachten wir jedoch die Pässe während des Trainings. Im Training werden die Spieler in Vierergruppen aufgeteilt, und jeder Spieler soll jedem anderen fünfmal den Ball zuspielen. Die aufgezeichneten Pässe sind in der folgenden Matrix kodiert:

\[\begin{split}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & 5 & 5 \\ 5 & 4 & 0 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Zur Erinnerung: Eine 5 in der ersten Zeile und in der zweiten Spalte (also \(a_{12} = 5\)) bedeutet, dass der 1. Spieler dem 2. Spieler fünfmal den Ball zugespielt hat. Es fällt jedoch auf, dass die Übung nicht korrekt ausgeführt wurde, da der 3. Spieler den 2. Spieler nur viermal angespielt hat (\(a_{32}=4\)), während der 2. Spieler den 3. Spieler wie gefordert fünfmal angespielt hat (\(a_{23}=5\)).

Nun soll diese Übung zwei weitere Male korrekt wiederholt werden. Diesmal verläuft die Übung fehlerfrei, und die neue Matrix zeigt die korrekten Pässe des zweiten und dritten Durchgangs:

\[\begin{split}\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 0 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Nach Abschluss der drei Übungen sollen alle Pässe insgesamt summiert werden. Wir könnten jedes Element einzeln addieren, indem wir die Anzahl der Pässe für jede Übung zusammenzählen:

\[\begin{split}\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0+0+0 & 5+5+5 & 5+5+5 & 5+5+5 \\ 5+5+5 & 0+5+5 & 5+5+5 & 5+5+5 \\ 5+5+5 & 4+5+5 & 0+5+5 & 5+5+5 \\ 5+5+5 & 5+5+5 & 5+5+5 & 0+5+5 \\ \end{pmatrix}\end{split}\]

Da die zweite und dritte Übung identisch abliefen, können wir die Pässe der zweiten und dritten Übung auch direkt verdoppeln:

\[\begin{split}\mathbf{B} + \mathbf{B} = 2\cdot\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2\cdot 0 & 2\cdot 5 & 2\cdot 5 & 2\cdot 5 \\ 2\cdot 5 & 2\cdot 0 & 2\cdot 5 & 2\cdot 5 \\ 2\cdot 5 & 2\cdot 5 & 2\cdot 0 & 2\cdot 5 \\ 2\cdot 5 & 2\cdot 5 & 2\cdot 5 & 2\cdot 0 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 10 & 10 & 10 \\ 10 & 0 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 0 & 10 \\ 10 & 10 & 10 & 0 \\ \end{pmatrix}\end{split}\]

Allgemein wird bei einer Skalarmultiplikation eine Matrix mit einer reellen Zahl (Skalar) multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird.

Was ist … die Skalarmultiplikation?

Bei der Skalarmultiplikation wird ein Skalar mit einer Matrix multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit diesem Skalar multipliziert wird.

Ein weiteres Beispiel für eine Skalarmultiplikation ist die folgende Rechnung, bei der jedes Element der Matrix mit dem Bruch \(1/2\) multipliziert wird:

\[\begin{split}\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -10 & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3.5 \\ -5 & \frac{3}{10} \end{pmatrix}.\end{split}\]

Das folgende Video veranschaulicht ein weiteres Beispiel zur Skalarmultiplikation.

Video “Skalarmultiplikation” von Mathematische Methoden

Rechengesetze für die Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen

Bei der Berechnung der Summe der Pässe aus den drei Übungen haben wir intuitiv genutzt, dass die zweite und dritte Übung identisch abgelaufen sind, und uns daher zunächst mit der Berechnung von zwei gleichen Matrizen befasst. Für die vollständige Summe fehlt jedoch noch die Addition der Pässe aus der ersten Übung:

\[\begin{split}2\cdot\mathbf{B} + \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 10 & 10 \\ 10 & 0 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 0 & 10 \\ 10 & 10 & 10 & 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & 5 & 5 \\ 5 & 4 & 0 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 15 & 15 & 15 \\ 15 & 0 & 15 & 15 \\ 15 & 14 & 0 & 15 \\ 15 & 15 & 15 & 0 \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Ist diese Vorgehensweise überhaupt erlaubt? Gilt also

\[2\cdot\mathbf{B} + \mathbf{A} \overset{?}{=} \mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{B} \,?\]

Ja, denn sowohl die Addition als auch die Skalarmultiplikation werden elementweise mit reellen Zahlen durchgeführt. Für reelle Zahlen gelten das Kommutativgesetz, das besagt, dass die Reihenfolge der Summanden keine Rolle spielt, sowie das Assoziativgesetz, das sicherstellt, dass die Reihenfolge der Gruppierungen bei der Addition ebenfalls irrelevant ist.

Da die Vektoraddition elementweise ausgeführt wird, überträgt sich das Kommutativgesetz der reellen Zahlen auf Matrizen. Das bedeutet, dass die Addition zweier Matrizen unabhängig von der Reihenfolge der Matrizen ist, wie die folgende allgemeine Rechnung zeigt:

\[\begin{split}\mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \ldots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \ldots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} + b_{m2} & a_{m2} + b_{m2} & \ldots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} + a_{11} & b_{12} + a_{12} & \ldots & b_{1n} + a_{1n} \\ b_{21} + a_{21} & b_{22} + a_{22} & \ldots & b_{2n} + a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} + a_{m1} & b_{m2} + a_{m2} & \ldots & b_{mn} + a_{mn} \end{pmatrix} = \mathbf{B} + \mathbf{A}.\end{split}\]

Auf dieselbe Weise kann auch das Assoziativgesetz angewendet werden: Es spielt keine Rolle, ob man zuerst zwei Matrizen addiert und dann die dritte dazu nimmt oder ob man zuerst eine Summe bildet und anschließend die verbleibenden Matrizen addiert. Dies erlaubt es uns, die Berechnung zu vereinfachen, indem wir z. B. direkt die Addition durch eine Skalarmultiplikation ersetzen. Anstatt \((\mathbf{A} + \mathbf{B}) + \mathbf{B}\) zu berechnen ist es erlaubt \(\mathbf{A} + (\mathbf{B} + \mathbf{B}) = \mathbf{A} + 2\mathbf{B}\) zu verwenden.

Ebenso überträgt sich das Distributivgesetz von reellen Zahlen auf die Addition von Matrizen und die Skalarmultiplikation. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Ein Skalar wird mit der Summe zweier Matrizen multipliziert. Das entspricht der Verteilung des Skalars auf beide Matrizen, sodass jede Matrix einzeln mit dem Skalar multipliziert wird, also

   \[s\cdot\left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right) = s\cdot\mathbf{A} + s\cdot\mathbf{B}.\]

2. Zwei Skalare werden addiert und die resultierende Summe wird mit einer Matrix multipliziert. Dies entspricht der Multiplikation der Matrix mit jedem Skalar einzeln und der anschließenden Addition der Ergebnisse, also

   \[(s + t) \cdot \mathbf{A} = s\cdot\mathbf{A} + t\cdot\mathbf{A}.\]

Video “Rechenregeln Matrizen (Teil 1)” von Mathematische Methoden

Video “Rechenregeln Matrizen (Teil 2)” von Mathematische Methoden

Differenz von Matrizen

Die Subtraktion zweier Matrizen ist streng genommen keine eigene Rechenoperation, sondern eine Kombination der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation mit dem Faktor \(-1\). Um Berechnungen zu vereinfachen führen wir dennoch die Subtraktion zweier Matrizen als elementweise Subtraktion der Einträge ein:

\[\begin{split}\mathbf{A} - \mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \ldots & a_{1n} - b_{1n} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \ldots & a_{2n} - b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} - b_{m1} & a_{m2} - b_{m2} & \ldots & a_{mn} - b_{mn} \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Soll beispielsweise die Differenz der folgenden zwei Matrizen gebildet werden, werden die entsprechenden Einträge der beiden Matrizen elementweise voneinander subtrahiert:

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 1.5 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -8 \\ 1.5 & 11 \end{pmatrix} .\end{split}\]

Wie bei der Vektoraddition kann die Differenz zweier Matrizen nur gebildet werden, wenn die Dimension der beiden Matrizen übereinstimmt, d.h. die Anzahl an Zeilen und Spalten übereinstimmt.

Zusammenfassung und Ausblick

In diesem Kapitel haben wir die Skalarmultiplikation kennengelernt, bei der jeder Eintrag einer Matrix mit einem Skalar multipliziert wird. Die Rechengesetze der reellen Zahlen, wie das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz, lassen sich auf die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation übertragen. Im nächsten Kapitel werden wir die Multiplikation zweier Matrizen erlernen.