6.2 Besondere Matrizen

6.2 Besondere Matrizen#

Einige Matrizen haben eine besondere Struktur oder spezielle Zahlenwerte und werden so häufig in Rechnungen gebraucht, dass besondere Bezeichnungen für diese Matrizen eingeführt worden sind. In diesem Kapitel geht es um die Nullmatrix, um die Diagonalmatrix und die Einheitsmatrix.

Lernziele#

Lernziele

Sie kennen die besonderen Matrizen
- Nullmatrix,
- Diagonalmatrix und
- Einheitsmatrix.

Nullmatrix#

Eine Matrix, bei der jeder Eintrag Null ist, kann sehr nützlich sein. Sollen beispielsweise während eines Fußballspiels die Pässe eines Spielers zu jedem anderen Spieler gezählt werden, dann ist es sinnvoll mit einer Matrix zu starten, bei der jeder Eintrag Null ist. Sobald ein Spieler zu einem anderen Spieler gepasst hat, wird an der entsprechenden Position der Wert um Eins hochgezählt. Aber zu Beginn des Fußballspiels sieht die Matrix folgendermaßen aus:

\[\begin{split}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Um eine Nullmatrix kürzer zu beschreiben, hat sich die folgende Notation eingebürgert: \(\mathbf{0}_{2\times 3}\). Eine fettgedruckte Null mit der Dimension als Index, also eine Nullmatrix mit zwei Zeilen und drei Spalten. Damit würde die obige Fußballmatrix als \(\mathbf{0}_{11\times 11}\) notiert werden.

Diagonalmatrix#

Im vorherigen Kapitel haben wir den Fachbegriff Hauptdiagonale kennengelernt. Damit sind die Einträge einer Matrix gemeint, bei denen die Zeilenposition gleich der Spaltenposition ist, also \(a_{11}\), \(a_{22}\), \(a_{33}\), und so weiter. Eine Diagonalmatrix wird über alle anderen Elemente definiert.

Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind, wird Diagonalmatrix genannt. In dem Beispiel

\[\begin{split}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{pmatrix}\end{split}\]

sind die Elemente \(a_{12} = 0\) und \(a_{21} = 0\), die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, Null. Also ist \(\mathbf{A}\) eine Diagonalmatrix.

Einheitsmatrix#

Eine besondere Diagonalmatrix ist die sogenannte Einheitsmatrix. Eine Einheitsmatrix ist zunächst einmal eine Diagonalmatrix. Damit ist zie also quadratisch und alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind Null. Damit eine Diagonalmatrix zu einer Einheitsmatrix wird, müssen zusätzlich alle Elemente auf der Hauptdiagonalen gleich der Zahl Eins sein. Oft wird sie mit einem großen, fettegdrucktem E oder I gekennzeichnet. An den Variablennamen wird als tiefgestelltes Zeichen die Dimension der Matrix geschrieben. Und da die Matrix quadratisch sein muss, reicht auch nur die Anzahl der Zeilen, wie die folgenden Beispiele zeigen. Die Einheitsmatrix der Dimension \(2\times 2\) ist

\[\begin{split}\mathbf{E}_{2} = \mathbf{I}_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\end{split}\]

während die Einheitsmatrix der Dimension \(4\times 4\) folgendermaßen geschrieben wird:

\[\begin{split}\mathbf{E}_{4} = \mathbf{I}_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Das folgende Video stellt diese speziellen Matrizen noch einmal vor.

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben wir Matrizen kennengelernt, die einen besonderen Aufbau haben oder bei denen die Zahlen 0 und 1 an bestimmten Positionen stehen. Es gibt noch mehr Matrizen, die einen besonderen Aufbau haben wie beispielsweise transponierte oder symmetrische Matrizen. Diese lernen wir in einem späteren Kapitel kennen. Zunächst beschäftigen wir uns mit der Addition von Matrizen.