6.3 Matrizenaddition

In den letzten beiden Kapiteln haben wir gelernt, was Matrizen sind, und ausgewählte besondere Matrizen kennengelernt. In diesem Kapitel werden wir zum ersten Mal mit Matrizen rechnen.

Lernziele

Lernziele

Sie können zwei Matrizen addieren, also die Summe zweier Matrizen bilden.

Addition zwei Matrizen

Wir greifen das Beispiel auf, ein Fußballspiel statistisch auszuwerten, um im darauffolgenden Training Defizite der Mannschaft zu reduzieren. Dazu wird das Passspiel der ersten fünf Minuten in einer Tabelle protokolliert (wir zeigen hier nur das Passspiel von vier Spielern):

	Spieler 1	Spieler 2	Spieler 3	Spieler 4
Spieler 1	0	8	3	20
Spieler 2	2	0	6	9
Spieler 3	17	4	0	2
Spieler 4	0	3	1	0

Die Tabelle lesen wir folgendermaßen. In der ersten Zeile stehen die Pässe des Spielers 1 an die anderen Spieler. Spieler 1 hat also 0-mal sich selbst angespielt, 8-mal Spieler 2 angespielt, 3-mal Spieler 3 und am häufigsten Spieler 4, den 20-mal von Spieler 1 angespielt wurde. Wir speichern diese Informationen etwas kompakter in der Matrix \(\textbf{P}_1\)

\[\begin{split} \mathbf{P}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 3 & 20 \\ 2 & 0 & 6 & 9 \\ 17 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

In den nächsten 5 Minuten werden die folgenden Pässe mitprotokolliert

	Spieler 1	Spieler 2	Spieler 3	Spieler 4
Spieler 1	0	6	8	15
Spieler 2	4	0	6	9
Spieler 3	7	4	0	3
Spieler 4	0	4	0	0

und als Matrix gespeichert:

\[\begin{split} \mathbf{P}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 8 & 15 \\ 4 & 0 & 6 & 9 \\ 7 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Wenn wir jetzt wissen wollen, wie viele Pässe in den ersten 10 Minuten insgesamt von einem Spieler zu den anderen gespielt wurden, müssen wir jede Pässe addieren:

	Spieler 1	Spieler 2	Spieler 3	Spieler 4
Spieler 1	0	8+6	3+8	20+15
Spieler 2	2+4	0	6+6	9+9
Spieler 3	17+7	4+4	0	2+3
Spieler 4	0	3+4	1+0	0

Mathematisch ausgedrückt wird jedes Element der Matrix zu dem Element addiert, das die gleiche Position hat. Das setzt natürlich voraus, dass die beiden Matrizen die gleiche Dimension haben.

\[\begin{split} \mathbf{P}_1 + \mathbf{P}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 3 & 20 \\ 2 & 0 & 6 & 9 \\ 17 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 6 & 8 & 15 \\ 4 & 0 & 6 & 9 \\ 7 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+0 & 8+6 & 3+8 & 20+15 \\ 2+4 & 0+0 & 6+6 & 9+9 \\ 17+7 & 4+4 & 0+0 & 2+3 \\ 0+0 & 3+4 & 1+0 & 0+0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 14 & 11 & 35 \\ 6 & 0 & 12 & 18 \\ 24 & 8 & 0 & 5 \\ 0 & 7 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Video “Addition von Matrizen” von Mathematische Methoden

Zusammenfassung und Ausblick

Nachdem wir in diesem Kapitel die Addition zweier Matrizen gelernt haben, wird es im nächsten Kapitel darum gehen, eine Matrix mit einem Skalar zu multiplizieren.