8.6 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen

8.6 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen#

Auf die komplexen Zahlen stießen wir, indem wir versuchten, die Gleichung \(z^2 = -1\) zu lösen. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nun mit dem Potenzieren und Wurzelziehen für komplexe Zahlen.

Lernziele#

Lernziele

Sie können eine komplexe Zahl potenzieren.
Sie können aus einer komplexen Zahl die Wurzel ziehen.

Potenzen von komplexen Zahlen#

Die Potenz einer komplexen Zahl ist – genau wie bei den reellen Zahlen – eine Abkürzung für das wiederholte Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst.

\[\begin{align*} z^2 &= z\cdot z \\ z^3 &= z \cdot z \cdot z \\ z^4 &= z \cdot z \cdot z \cdot z \\ z^5 &= z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z\\ \vdots \end{align*}\]

Die Zahl \(z\) heißt Basis und die Anzahl, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird, heißt Exponent oder Hochzahl. Es gibt auch negative Potenzen:

\[\begin{align*} z^{-2} &= \frac{1}{z\cdot z} \\ z^{-3} &= \frac{1}{z \cdot z \cdot z} \\ z^{-4} &= \frac{1}{z \cdot z \cdot z \cdot z} \\ z^{-5} &= \frac{1}{z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z}\\ \vdots \end{align*}\]

Wenn nun konkret eine Potenz einer komplexen Zahl ausgerechnet werden soll, ist die Exponentialform am besten geeignet, wie das folgende Beispiel zeigt. Wir möchten von der komplexen Zahl \(z = 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}}\) die Potenzen bis 4 bilden.

Für die 2. Potenz erhalten wir zufälligerweise eine rein imaginäre Zahl, wie die folgende Rechnung zeigt:

\[\begin{align*} z^2 &= \left( 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}} \right) \cdot \left( 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}} \right)\\ &= 3^2 \cdot e^{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\mathrm{i}} \\ &= 9 \, e^{\frac{\pi}{2} \mathrm{i}} \\ &= 9\mathrm{i}. \end{align*}\]

Für die 3. Potenz erhalten wir

\[\begin{align*} z^3 &= \left( 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}} \right) \cdot \left( 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}} \right)\cdot \left( 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}} \right)\\ &= 3^3 \cdot e^{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\mathrm{i}} \\ &= 27 \, e^{\frac{3}{4}\pi \mathrm{i}} \\ &\approx -19.0919 + 19.0919 \, \mathrm{i}. \end{align*}\]

Und die 4. Potenz ist zufälligerweise rein reell:

\[\begin{align*} z^4 &= \left( 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}} \right) \cdot \left( 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}} \right) \cdot \left( 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}} \right) \cdot \left( 3e^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}} \right)\\ &= 3^4 \cdot e^{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\mathrm{i}} \\ &= 81 \cdot e^{\pi \mathrm{i}} \\ &= 81 \cdot (-1) \\ &= -81. \end{align*}\]

Zusammengefasst gilt für das Potenzieren von komplexen Zahlen die folgende Rechenregel.

Wie wird eine komplexe Zahl potenziert?

Für jeden ganzzahligen Exponenten \(n\) wird die n-te Potenz einer komplexen Zahl \(z = r e^{\varphi\,\mathrm{i}}\) berechnet, indem der Betrag \(r\) mit \(n\) potenziert wird und das Argument \(\varphi\) mit \(n\) multipliziert wird:

\[z^n = \big(r e^{\varphi\,\mathrm{i}}\big)^n = r^n e^{n\, \varphi \, \mathrm{i}}.\]

Wie geht man vor, wenn die komplexe Zahl in Normalform oder trigonometrischer Form vorliegt? In Normalform können die Klammern einfach ausmultipliziert werden. Bei höhereren Potenzen ist es nur etwas schwierig, den Überblick über die einzelnen Terme zu behalten. Für die trigonometrische Form gibt es den Satz von de Moivre, auf die wir hier aber nicht weiter eingehen.

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Wurzelziehen von komplexen Zahlen#

Von den Potenzen ist der Schritt zu den Wurzeln recht kurz. Sie treten auf, wenn wir beispielsweise die quadratische Gleichung

\[z^2 = 3 + 4\, \mathrm{i}\]

lösen wollen. Bei reellen quadratischen Gleichungen kann es keine, eine oder zwei Lösungen geben. Eine komplexe quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen. Zuerst wandeln wir die komplexe Zahl von der Normalform in die Exponentialform um:

\[z^2 = 3 + 4\mathrm{i} = 5 \, e^{53.130^{\circ}\mathrm{i}}.\]

Bei der Berechnung der 2. Potenz müssen wir den Betrag quadrieren und das Argument mit 2 multiplizieren, um auf \(5 \, e^{53.13^{\circ}\mathrm{i}}\) zu kommen. Diesen Prozess kehren wir jetzt um. Wir ziehen aus dem Betrag 5 die Wurzel und teilen das Argument \(53.13^{\circ}\) durch 2:

\[z_1 = \sqrt{5} \, e^{\frac{53.13^{\circ}}{2}\mathrm{i}}.\]

Zur Kontrolle berechnen wir \(z_1^2\):

\[\begin{align*} z_1^2 &= \sqrt{5} \, e^{\frac{53.13^{\circ}}{2}\mathrm{i}} \cdot \sqrt{5} \, e^{\frac{53.13^{\circ}}{2}\mathrm{i}}\\ &= \sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\, e^{\left( \frac{53.13^{\circ}}{2} + \frac{53.13^{\circ}}{2} \right) \mathrm{i}} \\ &= 5 e^{53.13^{\circ}\mathrm{i}}. \end{align*}\]

Und die zweite Lösung? Wenn wir auf das Argument der ersten Lösung \(\varphi_1 = \frac{53.13^{\circ}}{2} = 26.565^{\circ}\) den Winkel \(180^{\circ}\) addieren, erhalten wir die zweite Lösung. Testen wir, ob das stimmt.

\[\begin{align*} z_2^2 &= \sqrt{5} \, e^{206.565^{\circ}\mathrm{i}} \cdot \sqrt{5} \, e^{206.565^{\circ}\mathrm{i}}\\ &= \sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\, e^{\left( 206.565^{\circ} + 206.565^{\circ} \right) \mathrm{i}} \\ &= 5 e^{413.13^{\circ}\mathrm{i}}. \end{align*}\]

Zunächst sieht es nicht so aus, als ob \(z_2 = 5 \, e^{53.130^{\circ}\mathrm{i}}\) gelte. Aber das Argument \(413.13^{\circ}\) ist ja größer als \(360^{\circ}\). Ziehen wir die \(360^{\circ}\) ab, um ein Argument zwischen \(0^{\circ}\) und \(360^{\circ}\) zu erhalten, landen wir wieder bei

\[z_2^{2} = 5 e^{53.13^{\circ}\mathrm{i}} = 3 + 4\mathrm{i}.\]

Also ist auch \(z_2\) eine Lösung der quadratischen Gleichung.

Dieses Vorgehen zur Berechnung der Wurzeln behalten wir bei. Wenn die fünfte Wurzel gezogen werden soll, ziehen wir zuerst die 5.-te Wurzel aus dem Betrag und teilen das Argument durch 5. Die anderen vier Wurzeln berechnen wir dann, indem wir \(360^{\circ}\) durch 5 teilen und jetzt viermal hintereinander auf das Argument der ersten berechneten Wurzel \(72^{\circ}\) addieren.

Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl \(r\, e^{\varphi \, \mathrm{i}}\) lassen sich folgendermaßen berechnen. Die erste n-te Wurzel erhalten wir, indem wir die n-te Wurzel des Betrages \(r\) berechnen und das Argument \(\varphi\) durch \(n\) teilen:

\[z_1 = \sqrt[n]{r} e^{\frac{\varphi}{n}\, \mathrm{i}}.\]

Für die weiteren n-ten Wurzeln wird \(\Delta\varphi = \frac{360^{\circ}}{n}\) zu dem Argument der ersten Lösung \(\frac{\varphi}{n}\) addiert. Das Argument der 2. Lösung ist also

\[\varphi_2 = \frac{\varphi}{n} + \Delta\varphi\]

Wenn nach der 2. Wurzel gefragt ist, haben wir \(\Delta\varphi = 180^{\circ}\) addiert und sind wir hier fertig. Wenn jedoch die 3. Wurzel berechnet werden sollte, war \(\Delta\varphi = 120^{\circ}\) und wir müssen noch die 3. Wurzel berechnen. Dazu addieren wir noch einmal \(\Delta\varphi\). Das Argument der dritten Lösung ist also

\[\varphi_3 = \frac{\varphi}{n} + 2\cdot \Delta\varphi.\]

Sollte nach der 4. Wurzel gefragt worden sein, müssen wir \(\Delta\varphi = 90^{\circ}\) addieren und erneut weitermachen:

\[\varphi_4 = \frac{\varphi}{n} + 3\cdot \Delta\varphi.\]

Und dieses Schema setzt sich so fort. Übrigens, falls der Winkel nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß angegeben ist, wird \(\Delta\varphi = \frac{2\pi}{n}\) addiert.

Wie werden die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl berechnet?

Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl \(z = r\, e^{\varphi\, \mathrm{i}}\) lauten

\[z_k = \sqrt[n]{r} \, e^{\left(\frac{\varphi}{n}+(k-1)\cdot\Delta\varphi\right)\mathrm{i}}\]

mit \(\Delta\varphi=\frac{360^{\circ}}{n} = \frac{2\pi}{n}\) und \(k = 1, \ldots, n\).

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Zusammenfassung und Ausblick#

Mit dem Potenzieren und dem Wurzelziehen ist unser Ausflug in die komplexen Zahlen hier erst einmal beendet. Im nächsten Kapitel steigen wir mit dem Thema »Funktionen« in die eindimensionale Analysis ein.