7.4 Lineare Gleichungssysteme mit Matrizenrechnung lösen

7.4 Lineare Gleichungssysteme mit Matrizenrechnung lösen#

Die Lösung linearer Gleichungssysteme haben wir im 5. Part kennengelernt als es darum ging, Schnitte von Geraden und Ebenen zu bestimmen. Da wir dreidimensionale Räume betrachtet haben, bestanden die linearen Gleichungssyteme aus drei Gleichungen. Mit Hilfe der Matrizenrechnung können auch größere Systeme effizient und systematisch gelöst werden. In diesem Kapitel lernen wir, wie lineare Gleichungssysteme durch die Anwendung von Matrizen und deren Inversen gelöst werden können.

Lernziele#

Lernziele

Sie verstehen, wie lineare Gleichungssysteme mit Hilfe von Matrizen dargestellt werden können.
Sie können eine inverse Matrix dazu benutzen, ein lineares Gleichungssystem zu lösen.
Sie können den Gauß-Algorithmus in Matrix-Darstellung zur Lösung von linearen Gleichungssystemen anwenden.

Matrixdarstellung eines linearen Gleichungssystems#

Ein lineares Gleichungssystem kann kompakt in Matrixform dargestellt werden. Betrachten wir ein allgemeines lineares Gleichungssystem mit \(n\) Gleichungen und \(n\) Unbekannten:

\[\begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n &= b_n. \end{align*}\]

Dies lässt sich in kompakter Matrixschreibweise darstellen als:

\[\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b},\]

wobei \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\) die Koeffizientenmatrix

\[\begin{split} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \end{split}\]

ist und \(\vec{x} \in \mathbb{R}^n\) der Vektor der Unbekannten mit

\[\begin{split} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}. \end{split}\]

Die rechte Seite des linearen Gleichungssystems wird im Ergebnisvektor \(\vec{b} \in \mathbb{R}^n \) zusammengefasst:

\[\begin{split} \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}. \end{split}\]

Betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

\[\begin{split} \begin{align*} 3x_1 - 4x_2 - 4x_3 &= -4 \\ 6x_1 - 6x_2 - 7x_3 &= -11 \\ -3x_1 + 6x_2 + 7x_3 &= 11 \\ \end{align*} \end{split}\]

Dieses Gleichungssystem können wir in Matrixform darstellen. Die Koeffizientenmatrix \(\mathbf{A}\) ist:

\[\begin{split} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & -4 & -4 \\ 6 & -6 & -7 \\ -3 & 6 & 7 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Der Vektor der Unbekannten \(\vec{x}\) ist:

\[\begin{split} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{split}\]

und der Ergebnisvektor \(\vec{b}\) ist:

\[\begin{split} \vec{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ -11 \\ 11 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Das gesamte lineare Gleichungssystem lässt sich nun in Matrixform schreiben als \(\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b}\), also

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 3 & -4 & -4 \\ 6 & -6 & -7 \\ -3 & 6 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -11 \\ 11 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Lösung des linearen Gleichungssystems mit Hilfe der inversen Matrix#

Um das zuvor dargestellte lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die Inverse der Koeffizientenmatrix \( \mathbf{A}\) berechnen, sofern \(\det(\mathbf{A})\neq 0\) ist. Die Lösung eines linearen Gleichungssystems der Form

\[ \mathbf{A} \vec{x} = \vec{b} \]

kann dann durch die folgende Gleichung bestimmt werden:

\[ \vec{x} = \mathbf{A}^{-1} \vec{b} \]

Diese Rechnung führen wir nun für das Beispiel aus.

Zuerst überprüfen wir, ob die Matrix \(\mathbf{A}\) eine Inverse besitzt, indem wir ihre Determinante berechnen. Die Determinante von \(\mathbf{A}\) berechnet sich wie folgt:

\[\begin{split} \det(\mathbf{A}) = 3 \cdot \det\begin{pmatrix} -6 & -7 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} - (-4) \cdot \det\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} - 4 \cdot \det\begin{pmatrix} 6 & -6 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Dies ergibt:

\[ \det(\mathbf{A}) = 3 \cdot (-42 + 42) + 4 \cdot (42 - 21) - 4 \cdot (36 - 18) = 12. \]

Da \(\det(\mathbf{A}) \neq 0\) gilt, hat die Koeffizientenmatrix eine Inverse. Wir rechnen die inverse Matrix \(\mathbf{A}^{-1}\) mit dem Gauß-Algorithmus aus und erhalten

\[\begin{split}\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 4 & 4 \\ -21 & 9 & -3 \\ 18 & -6 & 6 \\ \end{pmatrix}. \end{split}\]

Die gesuchte Lösung des linearen Gleichungssystems erhalten wir nun, indem wir die Inverse mit dem Ergebnisvektor multiplizieren:

\[\begin{split}\vec{x}=\mathbf{A}^{-1}\cdot\vec{b}= \frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 4 & 4 \\ -21 & 9 & -3 \\ 18 & -6 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -11 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Die gesuchte Lösung ist also \(x_1 = 0\), \(x_2 = -4\) und \(x_3 = 5\).

Haben wir einmal die inverse Marix bestimmt, können wir sie immer wieder benutzen. Sollte nun ein anderes Gleichungssystem gelöst werden, bei dem die Koeffizientenmatrix gleich bleibt, sich aber der Ergebnisvektor ändert, brauchen wir nur die Inverse mit dem neuen Ergebnisvektor zu multiplizieren.

Sollten wir sicher sein, dass wir nur für einen einzigen Ergebnisvektor das lineare Gleichungssystem lösen wollen, können wir den Gauß-Algorithmus auch direkt mit der Koeefizientenmatrix und dem Ergebnisvektor durchführen. Diese Kurzschreibweise nennt man erweiterte Koeffizientenweise. Sie wird in dem folgenden Video vorgestellt.

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben wir eine alternative Darstellung kennengelernt, lineare Gleichungssysteme mit Matrizen zu lösen. Insbesondere Computerprogramme und Verfahren der Künstlichen Intelligenz nutzen diese kompakte und effiziente Art und Weise, Informationen darzustellen und zu verarbeiten. Im nächsten Kapitel werden wir Eigenschaften von Matrizen lernen, die zur Beschreibung von schwingenden Systemen essentiell sind.