9.4 Funktionsgrenzwerte und ihre Rechenregeln

9.4 Funktionsgrenzwerte und ihre Rechenregeln#

Grenzwerte spielen nicht nur bei Folgen eine zentrale Rolle, sondern auch bei Funktionen. Beispielsweise kann das Verhalten eines schwingenden Systems bei unendlich vielen Zyklen durch einen Grenzwert beschrieben werden. Oder in einem Wärmetauscher nähert sich die Temperatur einem Grenzwert. Trotz der vielfältigen Anwendungen bleiben wir in diesem Kapitel bei der mathematischen Betrachtungsweise von Funktionsgrenzwerten.

Lernziele#

Lernziele

  • Sie wissen, was ein Funktionsgrenzwert ist. Dazu wird eine Folge von Zahlen \((x_n)\) genommen, die gegen den Grenzwert \(x_0\) konvergiert, und dann in die Funktion \(f\) eingesetzt. Wenn dann die dadurch entstehende Folge \(f(x_n)\) konvergent ist, nennt man diesen Grenzwert \(F\) Funktionsgrenzwert von der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\). Wir schreiben entweder

\[\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = F \quad \text{ oder } \quad f(x)\rightarrow F \text{ für } x \rightarrow x_0. \end{equation*}\]

  • Sie können Funktionsgrenzwerte von links und von rechts unterscheiden. Mit Funktionsgrenzwert von links meint man, dass man nur Zahlenfolgen betrachtet, für die \((x_n)\) kleiner als \(x_0\) ist und die sich \(x_0\) von links annähern. Umgekehrt meint der Funktionsgrenzwert von rechts, das man nur Zahlenfolgen \((x_n)\) nimmt, die sich \(x_0\) von rechts annähern. Man verwendet die beiden Schreibweisen

\[\begin{align*} \text{linksseitig:} \quad \lim_{x\rightarrow x_0^{\textcolor{blue}{-}}} f(x) = F \quad &\text{ bzw.} \quad \lim_{x\textcolor{blue}{\nearrow} x_0} f(x) = F \\ \text{rechtsseitig:} \quad \lim_{x\rightarrow x_0^{\textcolor{blue}{+}}} f(x) = F \quad &\text{ bzw.} \quad \lim_{x\textcolor{blue}{\searrow} x_0} f(x) = F \end{align*}\]

  • Sie kennen die Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte, also wenn \(f\) und \(g\) Funktionen sind mit \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=F\) und \(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=G\), dann gilt

    • Addition: \(\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)+g(x)) = F+G\)

    • Subtraktion: \(\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)-g(x)) = F-G\)

    • Multiplikation: \(\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)\cdot g(x)) = F\cdot G\)

    • Division: \(\lim_{x\rightarrow x_0} \left(\frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{F}{G}\quad\) (vorausgesetzt \(g(x), \,G\neq 0\))

Was ist ein Funktionsgrenzwert?#

Ein Funktionsgrenzwert beschreibt, wie sich eine Funktion \(f(x)\) verhält, wenn sich der Wert von \(x\) einem bestimmten Punkt \(x_0\) annähert. Betrachten wir die Funktion

\[f(x) = 2x + 1\]

und untersuchen, was mit \(f(x)\) passiert, wenn sich \(x\) dem Punkt \(x_0 = 3\) annähert. Dazu konstruieren wir eine Folge \((x_n)\), die gegen \(x_0 = 3\) konvergiert, beispielsweise die Folge

\[x_n = 3 - \frac{1}{n^2}.\]

Damit ergeben sich die folgenden Funktionswerte:

n

\(x_n\)

\(f(x_n)\)

1

2.000000

5.000000

2

2.750000

6.500000

3

2.888889

6.777778

4

2.937500

6.875000

5

2.960000

6.920000

6

2.972222

6.944444

7

2.979592

6.959184

8

2.984375

6.968750

9

2.987654

6.975309

10

2.990000

6.980000

Wir haben die Vermutung, dass sich die Folge der Funktionswerte \(f(x_n)\) dem Grenzwert \(F=7\) nähert.

Wir hätten auch eine andere Folge \((x_n)\) wählen können, z.B.

\[x_n = 3 + \frac{1}{2n}.\]

Dann würden sich folgenden Funktionswerte ergeben:

n

\(x_n\)

\(f(x_n)\)

1

3.500000

8.000000

2

3.250000

7.500000

3

3.166667

7.333333

4

3.125000

7.250000

5

3.100000

7.200000

6

3.083333

7.166667

7

3.071429

7.142857

8

3.062500

7.125000

9

3.055556

7.111111

10

3.050000

7.100000

Es bleibt bei dem Verdacht, dass der Grenzwert der Folge der Funktionswerte \(F=7\) ist.

Was ist … ein Funktionsgrenzwert?

Wenn für jede Folge \((x_n)\), die gegen einen Grenzwert \(x_0\) konvergiert, auch die Folge der Funktionswerte \(f(x_n)\) konvergiert, nennt man diesen Grenzwert Funktionsgrenzwert. Wir schreiben

\[\lim_{x\to x_0}f(x) = F \; \text{ oder } \; f(x) \to F \text{ für } x\to x_0.\]
Video “Grenzwerte von Funktionen” von Mathematische Methoden

Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte#

Die Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte sind dieselben wie die Rechenregeln von konvergenten Folgen. Daher listen wir sie hier nur auf, ohne ins Detail zu gehen:

Wenn \(f\) und \(g\) Funktionen sind mit

\[\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=F\]

und

\[\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=G,\]

dann gilt

  • Addition:

\[\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)+g(x)) = F+G\]

  • Subtraktion:

\[\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)-g(x)) = F-G\]

  • Multiplikation:

\[\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)\cdot g(x)) = F\cdot G\]

  • Division (vorausgesetzt \(g(x)\neq 0, \,G\neq 0\)):

\[\lim_{x\rightarrow x_0} \left(\frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{F}{G}\]
Video “Rechenregeln Funktionsgrenzwerte” von Mathematische Methoden

Zusammenfassung und Ausblick#

Mit Hilfe von Funktionsgrenzwerten werden wir im nächsten Kapitel klären, ob eine Funktion stetig ist oder nicht.

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