10.3 Faktor-, Summen- und Produktregel

10.3 Faktor-, Summen- und Produktregel#

Lernziele#

Lernziele

  • Sie können die Faktorregel anwenden, d.h.

\[(C\cdot f(x))' = C\cdot f'(x).\]

  • Sie können die Summenregel anwenden: wird eine Summe von differenzierbaren Funktionen abgeleitet, so darf man jede Funktion einzeln ableiten, d.h.

\[(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x).\]

  • Das gilt auch für Differenzen entsprechend mit einem Minuszeichen

\[(f(x)-g(x))' = f'(x) - g'(x).\]

  • Sie können die Produktregel anwenden, d.h.

\[(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x)+ f(x)\cdot g'(x).\]

Faktorregel#

Als nächstes betrachten wir die Ableitung von zusammengesetzten Funktionen. Wird eine Funktion mit einer konstanten reellen Zahl multipliziert, so muss auch ihre Ableitung mit dieser Zahl multipliziert werden.

Was ist … die Faktorregel?

Die Faktorregel ist eine Rechenregel zur Berechnung von Ableitungen. Wird eine Funktion mit einer konstanten reellen Zahl multipliziert, so muss auch ihre Ableitungsfunktion mit dieser Zahl multipliziert werden.

\[(C\cdot f(x))' = C\cdot f'(x).\]
Video zu “Faktorregel” von Mathematische Methoden

Summenregel#

Wenn zwei Funktionen addiert werden, die beide differenzierbar sind, ist die Summe ebenfalls wieder ableitbar. Wie die Summe abgeleitet werden muss, gibt die Summenregel vor.

Was ist … die Summenregel?

Die Summenregel ist eine Rechenregel zur Berechnung von Ableitungen. Sind zwei Funktionen differenzierbar, so ist auch ihre Summe differenzierbar. Die Ableitungsfunktion ist dann die Summe der einzeln abgeleiteten Funktionen.

\[(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x).\]

Gibt es einen Differenzenregel? Eine eigene Differenzenregel brauchen wir nicht, denn wir können die Faktorregel mit der Summenregel kombinieren.

\[(f(x) - g(x))' = (f(x) + (-1)\cdot g(x))' = f'(x) + (-1)\cdot g'(x) = f'(x) - g'(x).\]
Video zu “Summenregel” von Mathematische Methoden

Produktregel#

Etwas komplizierter wird es, wenn Funktionen miteinander multipliziert werden.

Was ist … die Produktregel?

Die Produktregel ist eine Rechenregel zur Berechnung von Ableitungen. Sind zwei Funktionen differenzierbar, so ist auch ihr Produkt differenzierbar. Die Ableitung des Produktes wird dann folgendermaßen berechnet:

\[(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x).\]
Video zu “Produktregel” von Mathematische Methoden

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben wir die Faktor-, Summen- und Produktregel kennengelernt. Im nächsten Kapitel wird es um die Quotientenregel gehen.

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