7.2 Inverse Matrizen#
In dem vorangegangenen Kapitel haben wir die Determinante kennengelernt. Mit Hilfe der Determinante können wir beispielsweise entscheiden, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. Dazu behandeln wir in diesem Kapitel das Thema inverse Matrizen.
Lernziele#
Lernziele
Sie wissen, wann es erlaubt ist, die inverse Matrix einer quadratischen Matrix zu berechnen und welche Rolle die Determinante dabei spielt.
Sie können die Inverse einer \(2\times 2\)-Matrix berechnen.
Sie können die Inverse einer \(n\times n\)-Matrix für \(n>2\) berechnen.
Sie kennen die Rechenregeln für inverse Matrizen und können sie anwenden.
Inverse Matrix von \(2\times 2\)-Matrizen#
Anhand der Überschrift können Sie schon erahnen, dass auch der Fachbegriff inverse Matrix nur für quadratische Matrizen definiert ist. Wir beginnen mit der Inversen einer \(2 \times 2\)-Matrix, also allgemein einer Matrix der Form
Wenn die Determinante dieser Matrix ungleich Null ist, können wir die Inverse \(\mathbf{A}^{-1}\) mit der Definition
bilden. Jetzt ist auch ersichtlich, warum wir \(\det{(\mathbf{A})}\) gefordert haben, denn das Teilen durch Null ist strikt verboten.
Betrachten wir als Beispiel die Matrix
Die Determinante lautet
Da die Determinante ungleich null ist, können wir die Inverse der Matrix berechnen. Wir setzen die Werte in die allgemeine Formel ein:
Das ergibt die Inverse:
Warum ist die Inverse so interessant? Wir berechnen das Matrizenprodukt \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1}\):
Das Ergebnis ist die Einheitsmatrix der Dimension \(2\times 2\). Tatsächlich ist das auch die Definition der inversen Matrix.
Was ist … die inverse Matrix?
Die inverse Matrix \(\mathbf{A}^{-1}\) einer quadratischen Matrix \(\mathbf{A}\) ist ebenfalls eine quadratische Matrix, die wenn sie mit der ursprünglichen Matrix multipliziert wird, die Einheitsmatrix \(\mathbf{E}\) ergibt:
Inverse Matrix von \(n \times n\)-Matrizen#
Die obige Definition einer inversen Matrix ist für alle quadratischen Matrizen gültig. Auch bei einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix \(\mathbf{A}\) ist also die inverse Matrix \(\mathbf{A}^{-1}\) diejenige Matrix, für die dann \(\mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{E}\) gilt. Leider gibt es keine so schöne einfache Formel zur Berechnung der Inversen. Die Berechnung der Inversen einer \(n \times n\)-Matrix ist aufwändiger als bei \(2 \times 2\)-Matrizen und erfordert in der Regel eine systematische Methode. Eines der bekanntesten Verfahren ist der Gauß-Algorithmus, den wir auch schon zur Lösung eines linearen Gleichungssystems kennengelernt haben.
Das Gauß-Verfahren funktioniert durch das Anwenden von elementaren Zeilenumformungen auf die Matrix \(\mathbf{A}\), bis sie in die Einheitsmatrix \(\mathbf{E}\) umgewandelt ist. Dieselben Umformungen werden parallel auf eine Einheitsmatrix der gleichen Dimension angewendet, um schließlich die Inverse zu erhalten. Der Algorithmus verläuft in den folgenden Schritten:
Gegeben ist eine Matrix \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\).
Füge rechts neben \(\mathbf{A}\) die Einheitsmatrix \(\mathbf{E}\) dazu.
Wende elementare Zeilenumformungen an, um \(\mathbf{A}\) in die Einheitsmatrix \(\mathbf{E}\) zu überführen.
Führe die gleichen Zeilenumformungen mit der Einheitsmatrix \(\mathbf{E}\) rechts daneben durch.
Ist die ursprüngliche Matrix \(\mathbf{A}\) in die Einheitsmatrix umgeformt, dann ist die ursprüngliche Einheitsmatrix rechts daneben nun die gesuchte inverse Matrix.
Am einfachsten ist es, sich den Gauß-Algorithmus im folgenden Video anzusehen.
Video “INVERSE MATRIX 3x3 berechnen” von Mathematrick
Eigenschaften und Rechenregeln für inverse Matrizen#
Die Inverse einer Matrix hat mehrere nützliche Eigenschaften, die häufig in der linearen Algebra und in Anwendungen wie der Lösung von linearen Gleichungssystemen verwendet werden. Im Folgenden listen wir die wichtigsten Eigenschaften der Inversen einer Matrix auf.
Inverse der Einheitsmatrix#
Die Einheitsmatrix \(\mathbf{E}\) ist immer invertierbar, und ihre Inverse ist sie selbst:
Dies gilt für jede quadratische Einheitsmatrix beliebiger Dimension.
Inverse des Produkts zweier Matrizen#
Wenn \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) zwei invertierbare Matrizen der gleichen Dimension sind, dann ist auch das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) invertierbar, und es gilt:
Die Reihenfolge wird bei der Multiplikation der Inversen umgekehrt. Eine Eselsbrücke für diese Rechenregel wird in dem folgenden Video gezeigt.
Video “Inverse Matrix, Rechenregeln I” von Mathematische Methoden
Inverse der inversen Matrix#
Die Inverse einer Matrix ist eindeutig, und die Inverse der inversen Matrix ist die ursprüngliche Matrix:
Inverse der Transponierten#
Die Inverse der transponierten Matrix \(\mathbf{A}^T\) ist die Transponierte der Inversen von \(\mathbf{A}\):
Das bedeutet, dass die Operationen der Inversion und der Transposition miteinander vertauschbar sind.
Inverse bei Skalarmultiplikation#
Ist \(s\) ein Skalar und \(\mathbf{A}\) eine \(n \times n\)-Matrix, dann gilt für die Inverse des Produkts von \(s\) und \(\mathbf{A}\):
Das bedeutet, dass wenn der Skalar \(s\) aus der Inversenoperation herausgezogen wird, mit dem Kehrwert multipliziert werden muss.
Inverse bei symmetrischen Matrizen#
Ist eine Matrix symmetrisch, ist ihre inverse Matrix ebenfalls symmetrisch.
Die oben genannten Rechenregeln werden auch in dem folgenden Video erläutert.
Video “Inverse Matrix, Rechenregeln II” von Mathematische Methoden
Zusammenfassung und Ausblick#
In diesem Kapitel haben wir die Berechnung und Eigenschaften der Inversen von Matrizen behandelt. Dabei haben wir gesehen, dass die Inverse existiert, wenn die Determinante ungleich null ist, und wie man sie mit dem Gauß-Algorithmus berechnet.
Im nächsten Kapitel werden wir orthogonale Matrizen untersuchen, die besondere Eigenschaften haben, wie die Gleichheit von Transponierter und Inverser. Diese Matrizen werden beispielsweise in der Robotik eingesetzt, um Rotationen zu beschreiben.