5.4 Lagebeziehungen Geraden und Ebenen#
Nun werden wir uns mit der Lagebeziehung von Geraden und Ebenen beschäftigen. Dabei berücksichtigen wir die drei möglichen Kombinationen:
Gerade zu Gerade
Gerade zu Ebene und
Ebene zu Ebene.
Lernziele#
Lernziele
Sie können berechnen, ob zwei Geraden
identisch sind,
parallel sind,
sich schneiden oder
windschief sind.
Falls sich zwei Geraden schneiden, können Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmen.
Sie können berechnen, ob eine Gerade
in einer Ebene liegt,
parallel zur Ebene liegt oder
die Ebene schneidet.
Falls eine Gerade eine Ebene schneidet, können Sie den Schnittpunkt von der Geraden mit der Ebenen bestimmen.
Sie können berechnen, ob zwei Ebenen
identisch sind,
parallel sind oder
sich schneiden.
Falls zwei Ebenen sich schneiden, können Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen bestimmen.
Gerade — Gerade#
Im euklidischen Raum \(\mathbb{R}^2\), also in der Ebene, gibt es drei Möglichkeiten, wie zwei Geraden zueinander liegen. Sie können identisch sein, sie können parallel verlaufen und sie können sich schneiden. Im dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3\) gibt es noch eine neue, vierte Möglichkeit. Die Geraden können windschief sein. Dabei haben sie keinen Schnittpunkt, sind aber trotzdem nicht parallel.
Eine erste Unterscheidungsmöglichkeit zwischen den Fällen identisch/parallel und schneiden/windschief bietet die Analyse der Richtungsvektoren. Sind die beiden Richtungsvektoren linear abhängig, dann sind die Geraden entweder identisch oder echt parallel zueinander. Mit Hilfe einer Punktprobe kann dann leicht überprüft werden, welcher der beiden Fälle vorliegt.
Sind die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig, dann sind die beiden Geraden entweder windschief oder sie schneiden sich. Welcher der beiden Fälle vorliegt, lässt sich dann durch Gleichsetzen der beiden Parametergleichungen entscheiden.
Wenn die erste Gerade in Parameterdarstellung \(g_1: X = P_1 + s\cdot\vec{v_1}, \; s\in\mathbb{R},\) lautet und die zweite Gerade \(g_2: X = P_2 + t\cdot\vec{v_2}, \; t\in\mathbb{R},\) dann bedeutet Gleichsetzen, dass die vektorielle Gleichung
gelöst werden soll. Lesen wir diese vektorielle Gleichung komponentenweise, erhalten wir drei Gleichungen für zwei Parameter \(s\) und \(t\). Es liegt also ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem vor. Wir lösen das Gleichungssystem. Die drei Möglichkeiten entsprechen den folgenden Lagebeziehungen:
Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann sind die beiden Geraden parallel oder windschief. Wenn bereits der Test auf lineare Abhängigkeit durchgeführt wurde und gezeigt hat, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind, dann sind die Geraden parallel und ansonsten windschief.
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Dann sind die beiden Geraden identisch.
Das Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung. Dann schneiden sich die beiden Geraden. Der Schnittpunkt kann dann berechnet werden, indem entweder die Lösung für \(s\) in \(g_1\) oder die Lösung für \(t\) in \(g_2\) eingesetzt wird.
Das folgende Video haben wir bereits eingeführt. Diesmal können Sie bei Zeitmarke 3:20 min starten.
Video “Geraden” von Flip the Classroom
Auch das folgende Video mit den dazugehörigen Erläuterungen ist hilfreich.
Auf Mathebattle können Sie üben, die Lage zweier Geraden zu bestimmen.
Übung “Gegenseitige Lage zweier Geraden” von Mathebattle
Gerade — Ebene#
Bei der Lagebeziehung Gerade zu Ebene gibt es drei Fälle:
Die Gerade liegt in der Ebene.
Die Gerade ist parallel zu der Ebene.
Die Gerade schneidet die Ebene, es gibt einen Schnittpunkt (Durchstoßpunkt).
Um zu bestimmen, welcher der drei Fälle vorliegt, setzen wir die Geradengleichung und die Ebenengleichung gleich. Hat das entstehende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, dann liegt die Gerade in der Ebene. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, so sind die beiden Objekte parallel zueinander. Bei einer eindeutigen Lösung des linearen Gleichungssystems haben Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Die Lösung des Gleichungssystems werden entweder in die Geradengleichung oder in die Ebenengleichung eingesetzt, um den Schnittpunkt zu berechnen.
Video “Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden” von Flip the Classroom
In dem folgenden Video wird die Berechnung des Schnittpunktes einer Geraden mit einer Ebene vorgeführt.
Auf Mathebattle können Sie üben, die gegenseitige Lage von einer Gerade und einer Ebene zu bestimmen.
Übung “Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene” von Mathebattle
Da wir die Abstandsberechnung noch nicht hatten, geben Sie bitte im Fall “Gerade ist parallel zur Ebene” einfach eine 1 als Abstand an. Das ist zwar (wahrscheinlich) falsch, aber den restlichen Lösungsweg können Sie mit Ihrer Lösung vergleichen.
Ebene — Ebene#
Auch bei der Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen gibt es drei Möglichkeiten. Hier ist es sinnvoll, die beiden Ebenengleichungen als Normalengleichung zu benutzen. Liegt eine oder beide Ebenengleichungen noch in der Parameterform vor, sollten sie umgewandelt werden. Dann können wir die Normalenvektoren untersuchen.
Sind die beiden Normalenvektoren linear abhängig. Dann sind die Ebenen entweder parallel oder identisch. Welcher der beiden Fälle vorliegt, kann mit der Punktprobe überprüft werden.
Sind die beiden Normalenvektoren linear unabhängig, dann schneiden sich die Ebenen. Die Schnittgerade kann durch Gleichsetzen der beiden Ebenengleichung bestimmt werden.
Die Berechnung einer Schnittgerade wird hier vorgeführt.
Video “Gegenseitige Lagen von Ebenen” von Flip the Classroom
Auf Mathebattle können Sie üben, die gegenseitige Lage zweier Ebenen zu bestimmen.
Übung “Gegenseitige Lage zweier Ebenen” von Mathebattle
Da wir die Abstandsberechnung noch nicht hatten, geben Sie bitte im Falle paralleler Ebenen einfach eine 1 als Abstand an. Das ist zwar (wahrscheinlich) falsch, aber den restlichen Lösungsweg können Sie mit Ihrer Lösung vergleichen.
Weiteres Lernmaterial#
Video “Lage von Geraden” von Mathematrick
Video “Schnitt und Winkel Gerade und Ebene” von Mathe Peter
Video “Lagebeziehung Ebene - Ebene” von Mathe Peter
Zusammenfassung und Ausblick#
In diesem Kapitel haben wir die Lage von Gerade zu Gerade, Geraden zu Ebenen und Ebenen zu Ebenen untersucht. Im nächsten Kapitel werden wir den Abstand von Geraden und Ebenen zueinander untersuchen.