4.6 Spatprodukt

Das Vektorprodukt existiert nur im dreidimensionalen Standardvektorraum \(\mathbb{R}^3\), weil es aufgrund seiner geomtrischen Bedeutung (orthogonal zu den beiden aufspannenden Vektoren, Länge entsprich Flächeninhalt des Parallelogramms) eingeführt wurde. Auch das Spatprodukt existiert nur im \(\mathbb{R}^3\). Es beschreibt das orientierte Volumen eines Spats.

Lernziele

Lernziele

• Sie wissen, was ein Spat ist.

• Sie können das Spatprodukt dreier Vektoren in Koordinaten ausrechnen.

• Sie wissen, dass das Spatprodukt das orientierte Volumen des Spats angibt.

Was ist ein Spat?

Ein Spat ist sozusagen die Erweiterung eines Parallelogramms in die dritte Richtung. Ein Spat ist ein geometrischer Körper, der durch sechs Parallelogramme begrenzt wird. Von den sechs Parallelogrammen sind jeweils die beiden gegenüberliegenden deckungsgleich und liegen in parallelen Ebenen. Am einfachsten ist es, hier ein Bild zu betrachten.

Fig. 12 Spat, Quelle: Wikimedia Commons von Ag2gaeh, Lizenz: CC BY-SA 4.0

Spatprodukt

Sind \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) drei Vektoren, die einen Spat aufspannen, so wird das Spatprodukt gebildet als

\[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}.\]

Oft wird für das Spatprodukt das Symbol \([ \; ]\) genutzt, also

\[[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}.\]

Das Spatprodukt ist nicht kommutativ. Vertauscht man hingegen die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) zyklisch, dann ändert sich der Wert des Spatproduktes nicht. Es gilt also

\[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c} = \left(\vec{b}\times\vec{c}\right)\cdot\vec{a} = \left(\vec{c}\times\vec{a}\right)\cdot\vec{b}.\]

Geometrische Interpretation des Spatproduktes

Das Spatprodukte wurde hauptsächlich wegen seiner geometrischen Interpretation eingeführt. Es gibt das orientierte Volumen des Spats an. Betrachten wir zunächst den Betrag des Skalarproduktes, dann erhalten wir das Volumen des Spats:

\[V = \left| \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c} \right|\,.\]

Lassen wir hingegen den Betrag weg, dann kann das Spatprodukt auch negative Werte annehmen. Ist \(\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\) negativ, bilden die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) ein Linkssystem. Ist hingegen das Spatprodukt positiv, so bilden die drei Vektoren ein Rechtssystem.

Video “Spatprodukt” von Daniel Jung

Zusammenfassung und Ausblick

Mit Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatprodukt haben wir drei verschiedenen Rechenoperationen für |Vektoren kennengelernt. In den folgenden Kapiteln werden wir Vektoren und diese Rechenoperationen nutzen, um Geraden und Ebenen sowie deren Lage im Raum zu beschreiben.