10.6 Ableitung der Umkehrfunktion#
Die Ableitung einer Funktion liefert die Steigung ihrer Tangente an einem bestimmten Punkt. Doch was passiert, wenn wir nicht nur die Funktion, sondern auch ihre Umkehrfunktion betrachten? Wie hängen ihre Ableitungen zusammen?
Lernziele#
Lernziele
Sie können die Umkehrfunktion ableiten, also
wobei \(y=f(x)\) und \(x=f^{-1}(y)\).
Was ist eine Umkehrfunktion?#
Die Umkehrfunktion kehrt die Zuordnung einer Funktion um, sodass sie zu jeden Funktionswert den ursprünglichen Wert liefert. Beispielsweise ist die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^2\) (für \(x \geq 0\)) die Funktion \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\).
Eine interessante Fragestellung dabei ist: Wie verhalten sich die Ableitungen \(f'\) und \((f^{-1})'\), wenn die Umkehrfunktion differenzierbar ist? Dies wollen wir systematisch untersuchen.
Um die Ableitung der Umkehrfunktion zu untersuchen, müssen wir erst einmal voraussetzen, dass zu einer reellen Funktion \(f\) die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) existiert. Wir setzen also voraus, dass \(f: D \to W\) eine bijektive Funktion ist, also eine Funktion, die injektiv und surjektiv ist. \(D\) ist die Definitionsmenge und \(W\) die Wertemenge. Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist definiert durch:
Ableitung der Umkehrfunktion#
Nachdem wir wiederholt haben, was eine Umkehrfunktion ist, wenden wir uns nun der Ableitung zu. Dazu setzen wir voraus, dass die Funktion \(f\) differenzierbar ist und dass \(f^{-1}\) existiert und ebenfalls differenzierbar ist. Dann gilt
wobei \(y=f(x)\) und \(x=f^{-1}(y)\).
Diese Formel ergibt sich aus der Kettenregel. Zur Herleitung setzen wir \(y = f(x)\) und differenzieren die Identität \(f(f^{-1}(y)) = y\) nach y:
Auflösen nach \((f^{-1}(y))'\) liefert die obige Beziehung.
Video “Umkehrfunktion ableiten” von Mathematrick
Zusammenfassung und Ausblick#
In diesem und den letzten Kapitel haben wir uns mit der Ableitung von Funktionen beschäftigt. In den nächsten Kapiteln werden wir Ableitungen anwenden um beispielsweise geometrische Probleme zu lösen.