12.3 Neigungswinkel / Schnittwinkel#
Mit Ableitungen lassen sich geometrische Eigenschaften des Funktionsgraphens bestimmen. In diesem Kapitel geht es um den Neigungsewinkel und den Schnittwinkel.
Lernziele#
Lernziele
Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt den Neigungswinkel an dem Punkt \((x_0, f(x_0))\), also \(f'(x_0) = \tan (\alpha)\).
Wenn zwei Funktionen sich in dem Punkt \((x_0,y_0)\) treffen, dann sind sie senkrecht zueinander, wenn \(f'(x_0)\cdot g'(x_0)=-1\) gilt. Und sie berühren sich nur, wenn \(f'(x_0) = g'(x_0)\).
Neigungswinkel#
Der Neigungswinkel, manchmal auch Steigungswinkel genannt, ist derjenige Winkel, den eine Gerade mit der x-Achse hat. Da bei einer Gerade die Steigung konstant ist, muss der Winkel nicht an der Nullstelle abgelesen werden, sondern kann auch an anderen Stellen über das Steigungsdreieck bestimmt werden, wie die folgende Abbildung zeigt.
Die Steigung \(m\) einer Gerade \(f(x) = m\cdot x + b\) ist gegeben als
Wenn wir das Steigungsdreieck einzeichnen, sehen wir aber auch, dass der Neigungswinkel \(\alpha\) über den Tangens berechnet werden kann. Es gilt also
Wenden wir die Arkustangensfunktion an, können wir so den Neigungswinkel aus der Steigung der Geraden berechnen:
Der Begriff des Neigungs- oder Steigungswinkel lässt sich von Geraden auch auf andere Funktionen übertragen. Handelt es sich jedoch nicht um eine Gerade, so variiert der Winkel und ist abhängig von dem Punkt \((x_0, y_0)\) auf dem Funktionsgraphen, an dem der Neigungswinkel bestimmt werden soll.
Was ist … der Neigungswinkel?
Der Neigungswinkel im Punkt \((x_0, f(x_0))\) einer Funktion \(f\) ist der Winkel \(\alpha\), den ihre Tangente an dieser Stelle mit der x-Achse bildet. Da die Steigung der Tangente an dieser Stelle durch die erste Ableitung \(f'(x_0)\) gegeben ist, erhalten wir
Video “Steigungswinkel berechnen” von Mister Mathe
Schnittwinkel#
Der Schnittwinkel für den Punkt \((x_0,y_0)\) ist definiert für zwei beliebige Funktionen \(f\) und \(g\), die sich in diesem Punkt schneiden. An jede der beiden Funktionen kann eine Tangente gelegt werden. Der Schnittwinkel ist dann der Winkel, den die beiden Tangenten einschließen.
Fig. 22 Quelle: MushroomCloud - selbst gezeichnet, Bild-frei, https://de.wikipedia.org/w/index.php?curid=2905230#
Man kann diesen Winkel \(\alpha\) auch als Differenz der beiden Neigungswinkel berechnen. Wenn \(\alpha_f\) der Neigungswinkel der Funktion \(f\) ist und \(\alpha_g\) der Neigungswinkel der Funktion \(g\), dann ist der gesuchte Schnitwinkel
Da wir beide Neigungswinkel auch mit den Ableitungen formulieren können und ein Additionstheorem für den Tangens gilt, erhalten wir
Sind die beiden Tangenten senkrecht zueinander, dann ist
Und sie berühren sich nur, wenn \(f'(x_0) = g'(x_0)\) gilt. Weitere Deteils findem Sie hier:
Video “Schnittwinkel berechnen” von Mister Mathe
Zusammenfassung und Ausblick#
Die Angabe des Neigungswinkels einer Funktion und des Schnittwinkels von zwei Funktionen ist nur eine von vielen geometrischen Eigenschaften einer Funktion, die mit Hilfe von Ableitungen berechnet werden kann. Weitere geometrische Eigenschaften wie Monotonie und Krümmung lernen wir im nächsten Kapitel kennen.