6.1 Was ist eine Matrix?#
In diesem Kapitel werden wir zunächst den Begriff Matrix und die verschiedenen Bestandteile einer Matrix kennenlernen.
Lernziele#
Lernziele
Sie wissen, was eine Matrix ist.
Sie kennen den Unterschied zwischen einem Zeilenvektor und einem Spaltenvektor.
Sie können die Teile einer Matrix benennen, d.h. Sie wissen, was die folgenden Begriffe bedeuten:
Element,
Zeilenindex,
Spaltenindex und
Hauptdiagonale.
Sie wissen, was die Dimension einer Matrix ist und wann zwei Matrizen gleich sind.
Sie können beurteilen, ob eine Matrix quadratisch ist.
Matrix#
Im Alltag werden häufig Tabellen benutzt, um Daten zu erfassen. Beispielsweise könnte man eine Tabelle nutzen, um die Einnahmen und Ausgaben eines jeden Monats zu protokollieren. In den Zeilen stehen die Kategorien wie beispielsweise BAFöG, Miete, Abo für das Fitnessstudio oder die Gesamtausgaben für Essen in dem jeweiligen Monat. Spaltenweise werden nun die Gesamtsumme an Ausgaben oder Einnahmen für diese Kategorie augfeführt. Positive Zahlen stehen für die Einnahmen, negative Zahlen für Ausgaben.
Januar |
Februar |
März |
April |
|
|---|---|---|---|---|
BAFöG |
956.00 € |
956.00 € |
956.00 € |
956.00 € |
Miete |
-530.00 € |
-530.00 € |
-530.00 € |
-530.00 € |
Fitnessstudio |
-24.99 € |
-24.99 € |
-24.99 € |
-24.99 € |
Essen |
-108.74 € |
-90.56 € |
-110.50 € |
-95.80 € |
Netflix |
-12.99 € |
-12.99 € |
-17.99 € |
-17.99 € |
In der Mathematik schreibt man solche Tabellen etwas kürzer, indem die Beschriftungen der Zeilen und Spalten sowie Einheiten weggelassen werden. Die Zahlen werden stattdessen rechteckig angeordnet und mit runden Klammern umrandet:
Im englischsprachigen Raum werden auch eckige Klammern verwendet:
In diesem Vorlesungsskript wird die Notation mit runden Klammern verwendet. Damit kommen wir zum Fachbegriff Matrix. Eine solche rechteckige Anordnung von Zahlen nennen wir Matrix. Die Mehrzahl des Wortes Matrix lautet Matrizen. Der Plural ist unregelmäßig.
Was ist … eine Matrix?
Ein rechteckig angeordnetes Zahlenschema wird in der Mathematik Matrix genannt.
Bestandteile einer Matrix#
Wir werden später noch sehen, dass Matrizen eine sehr kompakte Art und Weise sind, Informationen zu kodieren. Mit Matrizen kann aber auch gerechnet werden. Beispielsweise könne man nun in jeder Zeile der Matrix den Mittelwert bilden, um die durchschnittlichen Eingaben und Ausgaben über das Jahr hinweg analysieren zu können. Bevor wir jedoch zum Rechnen mit Matrizen kommen, lernen wir zunächst die Fachbegriffe für die einzelnen Bestandteile einer Matrix kennen.
Ein wichtiges Merkmal einer Matrix ist die Anzahl ihrer Zeilen und die Anzahl ihrer Spalten. In unserem obigen Beispiel hatten wir fünf Zeilen und vier Spalten. Die Einträge in der Matrix sind reelle Zahlen. Wir schreiben daher
und sagen, dass diese Matrix eine \(5\times 4\)-Matrix ist (sprich: 5 Kreuz 4). Die kombinierte Angabe der Anzahl Zeilen und Anzahl Spalten nennen wir Dimension der Matrix oder Format der Matrix. Bei der Angabe der Dimension kommt immer die Anzahl der Zeilen zuerst.
Um über einzelne Zahlen in der Matrix reden zu können, können wir ihre Position in der Matrix angeben. Beispielsweise steht in 5. Zeile und in der 2. Spalte die Zahl -12.99. Anstatt Position wird in der Mathematik der Fachbegriff Index verwendet und der Eintrag an dieser Stelle heißt Element. Wir schreiben das Element mit Zeilenindex 5 und Spaltenindex 2 als
Der Zeilenindex und der Spaltenindex werden klein an den Variablennamen geschrieben, der üblicherweise mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet wird. Die Angabe
bedeutet also, dass das Element der Matrix in der 5. Zeile und 3. Spalte gemeint ist und wir lesen ab, dass
Das Netflix-Abo ist also teurer geworden. Vergleichen wir zwei Matrizen, dann sind die beiden Matrizen gleich, wenn jedes Element \(a_{ij}\) der ersten Matrix \(A\) mit jedem Element \(b_{ij}\) der zweiten Matrix \(B\) übereinstimmt.
Üblicherweise werden Matrizen mit einem großen fettgedrucktem Buchstaben bezeichnet, so dass beispielsweise eine \(3\times 2\)-Matrix die folgende allgemeine Struktur hat:
Schneiden wir aus der Matrix eine ganze Zeile aus, z.B. die 4. Zeile, erhalten wir einen Vektor
der auch als Zeilenvektor bezeichnet wird. Ein Spaltenvektor ist eine ganze Spalte der Matrix, z.B. die erste Spalte
Die letzte Bezeichnung eines Bestandteils einer Matrix, die wir hier an dieser Stelle einführen, ist der Begriff der Hauptdiagonalen. Die Hauptdiagonale einer Matrix sind die Elemente, bei der Zeilenindex und Spaltenindex übereinstimmen. In dem obigen Beispiel sind das die Elemente \(a_{11}\), \(a_{22}\), \(a_{33}\) und \(a_{44}\), also die Zahlen 956, -530, -24.99 und -95.8.
Die folgende Grafik fasst die Bezeichnungen der Bestandteile einer Matrix übersichtlich zusammen.
Fig. 16 Bezeichnungen einer Matrix, Quelle: Ralf Pfeifer Wikimedia Commons, Lizenz: CC BY-SA 3.0#
Quadratische Matrizen#
Wir werden noch einige spezielle Matrizen kennenlernen. Eine spezielle Art von Matrix ist die quadratische Matrix. Bei einer quadratischen Matrix ist die Anzahl der Zeilen \(m\) gleich der Anzahl der Spalten \(n\), also \(m = n\). Beispielsweise ist die \(2\times 2\)-Matrix
eine quadratische Matrix.
In dem folgenden Video werden der Begriff Matrix, die Bestandteile einer Matrix und quadratische Matrizen erläutert.
Video “Matrix” von Mathematische Methoden
Zusammenfassung und Ausblick#
In diesem Kapitel haben wir Fachbegriffe eingeführt, um eine Matrix zu beschreiben. Mit der quadratischen Matrix haben wir einen ersten speziellen Typ einer Matrix kennegelernt. In den nächsten Kapiteln werden wir weitere spezielle Matrizen betrachten, bevor wir zu den Rechenoperationen für Matrizen kommen.