4.2 Skalarprodukt

In diesem Kapitel werden wir uns mit dem Skalarprodukt beschäftigen. Zunächst führen wir es für reelle Standardvektorräume \(\mathbb{R}^n\) ein.

Lernziele

Lernziele

• Sie wissen, was das Skalarprodukt im reellen Standardvektorraum \(\mathbb{R}^n\) ist.

• Sie können das Skalarprodukt berechnen.

• Sie kennen wichtige Eigenschaften des Skalarproduktes wie beispielsweise

  • positive Definitheit,

  • Symmetrie und

  • Bilinearität.

Was ist das Skalarprodukt?

Wikipedia beschreibt das Skalarprodukt als »… eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.« Etwas präziser wird eine positiv definite, symmetrische Bilinearform, die zwei Vektoren einen Skalar zuordnet, Skalarprodukt genannt. In dieser Vorlesung werden wir uns jedoch auf das Skalarprodukt im reellen Standardvektorraum \(\mathbb{R}^n\) beschränken.

Zur Motivation betrachten wie ein Beispiel, das nicht aus der Geometrie kommt. Angenommen, Sie haben Aktien der DAX-Unternehmen adidas, BASF, Commerzbank, Deutsche Telekom und E.ON. Die folgende Tabelle listet auf, wie viele Aktien Sie von jedem dieser fünf Unternehmen besitzen.

Unternehmen	Anzahl Aktien
adidas	5
BASF	3
Commerzbank	1
Deutsche Telekom	10
E.ON	7

In einer weiteren Tabelle werden nun die Aktienkurse für zwei Tage notiert, z.B. Montag und Dienstag von dieser Woche:

Aktienkurs	Montag	Dienstag
adidas	216.50 €	211.37 €
BASF	42.55 €	41.89 €
Commerzbank	12.76 €	12.50 €
Deutsche Telekom	25.15 €	27.21 €
E.ON	12.22 €	13.11 €

Wenn Sie nun den Wert des gesamten Aktiendepots am Montag ermitteln wollen, muss zuerst für jedes Unternehmen der Kurswert der Aktie mit der Anzahl der Aktien multiplizert werden. Danach werden die Depots der Unternehmen aufsummiert. Für Montag erhalten wir

\[5\cdot 216.5 \unicode{0x20AC} + 3\cdot 42.55 \unicode{0x20AC} + 1\cdot 12.76 \unicode{0x20AC} + 10\cdot 25.15 \unicode{0x20AC} + 7\cdot 12.22 \unicode{0x20AC} = 1559.95 \unicode{0x20AC}.\]

Soll nun für jedem Tag eines Jahres der aktuelle Wert des gesamten Aktiendepots ermittelt werden, ist das händische Bilden der Zwischenprodukte und das anschließende Aufsummieren etwas unpraktisch. So eine Aufgabe könnte besser eine Tabellenkalkulationssoftware oder ein Computerprogramm übernehmen. Es bietet sich an, die Anzahl der Aktien als ein 5-Tupel zu schreiben:

\[\begin{split}\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Den aktuellen Aktienkurs können wir ebenfalls als ein 5-Tupel notieren, das Euro-Symbol für die Währung lassen wir dabei weg:

\[\begin{split}\vec{k} = \begin{pmatrix} 216.5 \\ 42.55 \\ 12.76 \\ 25.15 \\ 12.22 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Beides sind Vektoren des reellen Standardvektorraumes, denn wir können die Vektoraddition und skalare Multiplikation sinnvoll als Änderungen des Aktienkurses oder den Zukauf oder Verkauf von Aktien interpretieren. Darüber hinaus führen wir jetzt noch eine neue mathematische Verknüpfung ein, die den Wert des Gesamtdepots ermittelt. Wir verwenden dazu (wieder einmal) das Symbol \(\;\cdot\;\)

\[\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{k} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 216.5 \\ 42.55 \\ 12.76 \\ 25.15 \\ 12.22 \end{pmatrix} = 5\cdot 216.5 + 3\cdot 42.55 + 1\cdot 12.76 + 10\cdot 25.15 + 7\cdot 12.22 = 1559.95.\end{split}\]

Diese mathematische Verknüpfung hat noch viele weitere Anwendungen in der Physik und in der Geometrie, so dass sie einen eigenen Namen bekommen hat: Skalarprodukt. Allgemein wird sie folgendermaßen definiert.

Was ist … das Skalarprodukt?

Sind \(\vec{a}\in\mathbb{R}^n\) und \(\vec{b}\in\mathbb{R}^n\) zwei Vektoren des reellen Standardvektorraumes, so wird die mathematische Verknüpfung

\[\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \ldots + a_n \cdot b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot b_i \end{split}\]

Skalarprodukt genannt.

Damit haben wir nun die dritte Bedeutung des Symbols \(\;\cdot\;\) kennengelernt.

Achtung

Die Rechenoperation \(\;\cdot\;\) (“mal”) hat viele verschiedenen Bedeutungen. Nur aus dem Zusammenhang wird klar, was gemeint ist.

1. Multiplikation, also Skalar “mal” Skalar = Skalar, z.B.

   \[3\cdot 2 = 6,\]

2. skalare Multiplikation, also Skalar “mal” Vektor = Vektor, z.B.

   \[\begin{split}3\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 9.3 \end{pmatrix},\end{split}\]

3. Skalarprodukt, also Vektor “mal” Vektor = Skalar, z.B.

   \[\begin{split}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3.1 \end{pmatrix} = 5.2.\end{split}\]

Die folgenden Videos zeigen weitere Beispiele zur Berechnung des Skalarproduktes von zwei Vektoren. Danach werden wir uns mit allgemeinen Eigenschaften des Skalarproduktes beschäftigen.

Video “Skalarprodukt” von Visual X

Video “Skalarprodukt berechnen” von Einfach Mathe!

Eigenschaften des Skalarproduktes

Das Skalarprodukt hat einige sehr wichtige Eigenschaften. Für jeden Vektor \(\vec{a}\in\mathbb{R}^n\) gilt, dass das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst positiv ist. Null kann das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst nur werden, wenn der Vektor \(\vec{a}\) der Nullvektor ist. Negativ hingegen wird das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst nie. Wir können leicht nachrechnen, dass diese Aussagen stimmen, indem wir das Skalarprodukt des Vektors \(\vec{x}\) mit sich selbst ausrechnen:

\[\vec{a}\cdot\vec{a} = a_1 \cdot a_1 + a_2 \cdot a_2 + \ldots + a_n \cdot a_n = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2.\]

Da jede Komponente \(a_i\) eine reelle Zahl ist, sind die Quadrate der Komponenten nicht-negativ, also \(a_i^2 \geq 0\). Damit ist aber auch die Summe der Quadrate \(a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2\) nicht-negativ. Nur wenn der Vektor \(\vec{a}\) der Nullvektor ist, dann haben wir

\[\vec{0} \cdot \vec{0} = 0\cdot 0 + 0\cdot 0 + \ldots + 0\cdot0 = 0.\]

Diese Eigenschaft nennt man positive Definitheit bzw. man bezeichnet das Skalarprodukt als positiv definit.

Das Skalarprodukt ist auch symmetrisch und erfüllt das Kommutativgesetz. Es gilt

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a},\]

was auch leicht nachgerechnet werden kann:

\[\begin{align*} \vec{a}\cdot\vec{b} &= a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + \ldots + a_n\cdot b_n =\\ &= b_1\cdot a_1 + b_2\cdot a_2 + \ldots + b_n\cdot a_n = \vec{b}\cdot\vec{a}\\ \end{align*}\]

Es überträgt sich sozusagen die Symmetrie der “normalen” Multiplikation von den reellen Zahlen auf das Skalarprodukt.

Für das Skalarprodukt gilt darüber hinaus das gemischte Assoziativgesetz. Sind \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) zwei Vektoren des reellen Standardvektorraumes, also \(\vec{a}, \vec{b}\in\mathbb{R}^n\) und ist \(s\) ein Skalar, also \(s\in\mathbb{R}\), dann gilt

\[(s\cdot\vec{a})\cdot\vec{b} = s\cdot (\vec{a}\cdot\vec{b}) = \vec{a}\cdot (s\cdot\vec{b}).\]

Ein richtiges Assoziativgesetz gilt für das Skalarprodukt nicht. Im Allgemeinen gilt also

\[(\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c} \textcolor{red}{\neq} \vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c}).\]

Das Skalarprodukt ist nicht assoziativ.

Die letzte Eigenschaft, mit der wir uns in diesem Kapitel beschäftigen wollen, ist das Distributivgesetz. Es gelten für alle Vektoren \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^n\) die beiden Distributivgesetze

\[\begin{align*} (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} &= \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{a}\cdot\vec{c} \\ \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) &= \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} \\ \end{align*}\]

Aufgrund der beiden letzten Eigenschaften, dem gemischten Assoziativgesetzt und dem Distributivgesetz, wird das Skalarprodukt bilinear genannt.

Wir fassen zusammen: Das Skalarprodukt ist eine positiv definite, symmetrische Bilinearform. Tatsächlich wird in vielen mathematischen Disziplinen umgekehrt vorgegangen und jede positiv definite, symmetrische Bilinearform als Skalarprodukt bezeichnet. Das Skalarprodukt aus diesem Kapitel ist nur eines unter vielen Skalarprodukten. Da es in natürlicher Weise zum reellen Standardvektorraum gehört, wird es auch Standardskalarprodukt genannt.

Zusammenfassung und Ausblick

Nachdem wir in diesem Kapitel das Skalarprodukt des reellen Standardvektorraumes und seine Eigenschaften kennengelernt haben, werden wir es im nächsten Kapitel in der Geometrie anwenden.