8.3 Betrag, komplexe Konjugation und Division#
In dem vorherigen Kapitel haben wir die Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen kennengelernt. In diesem Kapitel werden wir uns mit der letzten – noch fehlenden – Grundrechenart beschäftigen, nämlich der Division. Dazu führen wir zuerst den Betrag einer komplexen Zahl ein und beschäftigen uns mit der komplexen Konjugation.
Lernziele#
Lernziele
Sie können den Betrag einer komplexen Zahl berechnen:
\[|z|=\sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}.\]Sie kennen die Dreiecksungleichung für den Betrag komplexer Zahlen:
\[|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|.\]Sie können die konjugiert komplexe Zahl bilden, also eine komplexe Konjugation durchführen.
Sie können die folgenden Rechenregeln für den Betrag anwenden:
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
\(|z| = |\bar{z}|\)
\(|z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}}\)
Sie können zwei komplexe Zahlen in Normalform dividieren.
Betrag komplexer Zahlen#
Im Gegensatz zu reellen Zahlen sind komplexe Zahlen nicht geordnet. Welche Zahl ist größer: \(-1+3\mathrm{i}\) oder \(2-0.5\mathrm{i}\)? Auf der Zahlengerade lassen sich die reellen Zahlen ordnen. \(3\) ist größer als \(2.7\) und liegt daher weiter rechts auf der Zahlengeraden. Die geometrische Interpretation der komplexen Zahlen als Punkte in der Gaußschen Zahlenebene zeigt aber, dass dieses Ordnen in der Gaußschen Zahlenebene nicht funktioniert. Die Zahl \(2-0.5\mathrm{i}\) liegt zwar weiter rechts als \(-1+3\mathrm{i}\). Gleichzeitig liegt aber \(-1+3\mathrm{i}\) höher als \(2-0.5\mathrm{i}\). Als Ersatz für eine Ordnung der komplexen Zahlen dient daher der sogenannte Betrag einer komplexen Zahl. Der Betrag einer komplexen Zahl ist ihr Abstand zum Koordinatenursprung, also zur Null \(0+0\mathrm{i}\).
Verwenden wir den Satz des Pythagoras, können wir den Betrag einer komplexen Zahl aus ihrem Realteil und Imaginärteil ausrechnen.
Was ist … der Betrag einer komplexen Zahl?
Der Betrag einer komplexen Zahl \(z = a + \mathrm{i}\) mit Realteil \(a\) und Imaginärteil \(b\) ist
Für den Betrag zweier komplexer Zahlen gilt die sogenannte Dreiecksungleichung:
Video “Komplexe Zahlen - Betrag” von Prof. Hoever
Komplexe Konjugation#
Als nächstes betrachen wir den Prozess der komplexen Konjugation. Soll zu einer komplexen Zahl die sogenannte konjugiert komplexe Zahl berechnet werden, dann ist damit gemeint, dass das Vorzeichen des Imaginärteils getauscht wird. Anhand eines Beispiels betrachten wir nun die geometrische Interpretation der konjugiert komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene.
Beispiel: Wir betrachten die komplexe Zahl \(z = 3 + 2\mathrm{i}\). Tauschen wir nun das Vorzeichen des Imaginärteils, ergibt sich daraus die konjugiert komplexe Zahl
Dabei wird die konjugiert komplexe Zahl durch einen Strich gekennzeichnet. Als nächstes zeichnen wir \(z\) und \(\bar{z}\) in der Gaußschen Zahlenebene ein.
Wir können den Prozess des »Vorzeichentauschens«, die sogenannte komplexe Konjugation geometrisch als eine Spiegelung an der Realteil-Achse interpretieren.
Was ist … die konjugiert komplexe Zahl?
Ist \(z = a + b\mathrm{i}\) eine komplexe Zahl, dann wird
ihre konjugiert komplexe Zahl genannt. Sie entsteht durch das Tauschen des Vorzeichens des Imaginärteils.
Video “Komplexe Zahlen - Konjugiert komplexe Zahl” von Prof. Hoever
Division komplexer Zahlen#
Die Division zweier komplexer Zahlen erfordert einen Trick. Um den Trick zu erklären, starten wir mit einem Beispiel. Die beiden komplexen Zahlen \(z_1 = 1-3\mathrm{i}\) und \(z_2 = 1+2\mathrm{i}\) sollen dividiert werden, also
berechnet werden. Wir nehmen den Nenner \(1+2\mathrm{i}\) und tauschen das Vorzeichen des Imaginärteils aus. Aus Plus machen wir Minus und aus Minus machen wir Plus und erhalten die folgende konjugiert komplexe Zahl:
Als nächstes erweitern wir den Bruch mit dieser neuen Zahl, rechnen also
aus. Beim Ausmultiplizieren des Nenners können wir die 3. binomische Formel \((a+b)\cdot (a-b) = a^2 -b^2\) ausnutzen:
Da ja \(\mathrm{i}^2 = -1\) gilt, vereinfachen sich die Terme zu
Daher gilt also insgesamt
Um zwei komplexe Zahlen in Normalform zu dividieren, gehen wir also in drei Schritten vor:
Bei der komplexen Zahl im Nenner wird das Vorzeichen des Imaginärteils getauscht, also die konjugiert komplexe Zahl des Nenners gebildet.
Danach wird der Bruch mit der kongugiert komplexen Zahl erweitert.
Zuletzt werden alle Terme durch Ausmultiplizieren vereinfacht. Dabei werden die 3. binomische Formel und \(\mathrm{i}^2=-1\) ausgenutzt, bis das Ergebnis in Normalform dasteht.
Der Vollständigkeit halber notieren wir noch die mathematische Formel zur Berechnung eines Quotienten von komplexen Zahlen im Allgemeinen. Wenn \(z_1 = a_1 + b_1 \cdot \mathrm{i}\) und \(z_2 = a_2 + b_2 \cdot \mathrm{i}\) komplexe Zahlen sind, dann ist ihr Quotient
Es ist wenig sinnvoll, diese Formel auswendig zu lernen. Eine bessere Strategie ist, sich zu merken, dass mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert wird. Auch die Division zweier komplexer Zahlen kann geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene interpretiert werden. Probieren Sie dazu das folgende Applet aus.
Interaktiv: Division komplexer Zahlen von “Hart und Trocken”
Starten Sie das
Applet “Division komplexer Zahlen”
von “Hart und Trocken”. Dort können Sie zwei komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene wählen, indem Sie die beiden blauen Punkte bewegen. Der Quotient dieser beiden komplexen Zahlen wird orange dargestellt.
Video “Komplexe Zahlen - Kehrwert einer komplexen Zahl” von Prof. Hoever
Video “Komplexe Zahlen | Division” von Lernkompass
Weiteres Lernmaterial#
Video “Komplexe Mengen grafisch darstellen” von MathePeter
Zusammenfassung und Ausblick#
In diesem Kapitel haben Sie gelernt, wie komplexe Zahlen dividiert werden. Dazu wurden die Begriffe Betrag und komplexe Konjugation eingeführt. Tatsächlich ist es bei der Multiplikation und der Division häufig geschickter, von der Darstellung einer komplexen Zahl in Normalform zu der sogenannten trigonometrischen Form oder Exponentialform überzugehen. Letzteres wird uns auch das Potenzieren und Wurzelziehen ermöglichen. Daher behandeln wir im nächsten Kapitel zunächst die trigonometrische Form der komplexen Zahlen.