9.2 Grenzwert einer Zahlenfolge

9.2 Grenzwert einer Zahlenfolge#

Im letzten Kapitel haben wir gelernt, was Zahlenfolgen sind und auch die beiden Eigenschaften Monotonie und Beschränktheit betrachtet. In diesem Kapitel geht es darum abzuschätzen, wie sich eine Folge für große Indizes verhält.

Lernziele#

Lernziele

  • Sie wissen, was der Grenzwert einer Folge ist. Manchmal wird der Grenzwert auch als Limes bezeichnet. Das kommt aus dem Lateinischen, erinnert aber auch an den englischen Begriff Limit.

  • Sie wissen, dass eine Zahlenfolge konvergent genannt wird, wenn sie einen Grenzwert hat. Außerdem kennen Sie die beiden üblichen Schreibweisen für Grenzwerte:

\[\begin{equation*} (a_n) \rightarrow a \text{ für } n \rightarrow \infty \quad \text{ oder } \quad \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = a. \end{equation*}\]

Man sagt dazu: »Der Limes von \(a_n\) für \(n\) gegen unendlich ist \(a\).«

  • Sie wissen, dass eine Zahlenfolge, die keinen Grenzwert hat, divergent genannt wird.

  • Sie wissen, dass eine Zahlenfolge mit dem Grenzwert 0 Nullfolge heißt.

  • Sie wissen, dass jede monotone und beschränkte Folge automatisch konvergent ist (also einen Grenzwert hat).

Grenzwert einer Folge#

In technischen Systemen, wie Feder-Dämpfer-Systemen, treten oft Schwingungen auf, deren Amplitude mit der Zeit abnimmt. Die Amplitudenfolge \(a_n = A_0 \cdot e^{-kn}\) beschreibt die Abnahme der Schwingung, wobei \(A_0\) die Anfangsamplitude ist und \(k\) der Dämpfungskoeffizient.

Für \(A_0 = 10\) und \(k = 0.2\) ergibt sich:

  • \(a_1 = 10 \cdot e^{-0.2} \approx 8.19\)

  • \(a_2 = 10 \cdot e^{-0.4} \approx 6.70\)

  • \(a_3 = 10 \cdot e^{-0.6} \approx 5.49\)

  • \(a_4 = 10 \cdot e^{-0.8} \approx 4.49\)

  • \(a_5 = 10 \cdot e^{-1} \approx 3.68\)

Die Amplitudenfolge lautet: \(10, 8.19, 6.70, 5.49, 4.49, 3.68 \dots\).

Wenn wir diese Amplitudenfolge weiter betrachten, wird die Amplitude immer weiter gedämpft, bis sie irgendwann kaum noch von Null zu unterscheiden ist. Allgemein kann sich eine Folge \((a_n)\) einem festen Wert \(a\) annähern, wenn \(n\) gegen unendlich geht. Diesen Wert nennt man den Grenzwert der Folge.

Die mathematisch präzise Definition eines Grenzwertes lautet wie folgt.

Was ist … der Grenzwert?

Eine Folge \((a_n)\) besitzt den Grenzwert \(a\), wenn für jede (sehr kleine) Zahl \(\varepsilon >0\) alle Folgenglieder \(a_n\) ab einem bestimmten Index \(N\) in dem offenen Intervall um \(a\) liegen, d.h.

\[|a_{n} - a| < \varepsilon, \quad \text{ falls } n \geq N.\]

Eine Zahlenfolge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Wenn dieser Grenzwert Null ist, wird die Folge eine Nullfolge genannt.

Video “konvergente Zahlenfolgen” von Mathematische Methoden
Video “Grenzverhalten von Folgen” von MathePeter
Video “Grenzwert Folge” von Mathematrick

Beispiel#

Die Folge \(a_n = 2 + \frac{1}{n}\) hat vermutlich den Grenzwert \(a=2\). Dies wollen wir überprüfen. Wir probieren zunächst mit einem Taschenrechner aus, ob wir für verschiedene (sehr kleine) Werte von \(\varepsilon > 0\) einen Index \(N\) finden, so dass

\[\left|2 + \frac{1}{n} - 2\right| < \varepsilon\]

gilt. Da \(\frac{1}{n}\) für alle natürlichen Zahlen \(n\) positiv ist, können wir obige Ungleichung vereinfachen zu

\[\frac{1}{n} < \varepsilon.\]

Damit finden wir leicht die folgenden Indizes \(N\) mit dem Taschenrechner:

  • \(\varepsilon = 0.1\): Index \(N = 11\)

  • \(\varepsilon = 0.01\): Index \(N = 101\)

  • \(\varepsilon = 0.001\): Index \(N = 1001\)

Allgemein können wir festhalten, dass die Ungleichung \(\frac{1}{n} < \varepsilon\) erfüllt ist, wenn \(N\) größer gewählt wird als \(\frac{1}{\varepsilon}\). Damit gilt für dieses Beispiel

\[ \left(2+\frac{1}{n}\right) \rightarrow 2 \; \text{ für } \; n \rightarrow \infty \quad \text{ oder } \quad \lim_{n\rightarrow\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right) = 2.\]

Divergente Zahlenfolgen#

Nicht jede Zahlenfolge besitzt einen Grenzwert. Folgen, die keinen Grenzwert haben, werden divergent genannt. Typische Beispiele für divergente Folgen sind unbeschränkte Folgen wie die folgenden Beispiele.

  1. Unbeschränkt wachsende Folge:
    \(a_n = n \quad \text{mit} \quad a_1 = 1, \, a_2 = 2, \, a_3 = 3, \dots \)

  2. Unbeschränkt fallende Folge:
    \(b_n = -n \quad \text{mit} \quad b_1 = -1, \, b_2 = -2, \, b_3 = -3, \dots \)

Aber auch beschränkte Folgen können keinen Grenzwert haben, wie die folgenden Beispiele zeigen.

  1. Periodische Folge ohne Grenzwert:
    \(c_n = (-1)^n \quad \text{mit} \quad c_1 = 1, \, c_2 = -1, \, c_3 = 1, \, c_4 = -1, \dots \)

  2. Unregelmäßige Folge:
    \(d_n = \sin(n) \quad \text{mit} \quad d_1 = \sin(1), \, d_2 = \sin(2), \, d_3 = \sin(3), \dots \)

Die ersten beiden Beispiele für divergente Folgen sind unbeschränkte Folgen. Im dritten und vierten Beispiel sind die Zahlenfolgen beschränkt, jedoch nicht monoton. Tatsächlich kann man beweisen, dass monotone und beschränkte Folgen konvergent sind.

Konvergenz für monotone und beschränkte Folgen

Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.

Die Umkehrung gilt nicht unbedingt. Zwar ist jede konvergent Folge beschränkt, aber nicht jede konvergente Folge ist monoton. Beispielsweise ist die Folge

\[a_n = \frac{(-1)^n}{n}\]

eine Nullfolge, d.h. sie hat den Grenzwert Null. Dennoch ist sie nicht monoton.

Video “divergente Zahlenfolgen” von Mathematische Methoden
Video “Konvergenz - Beschränktheit - Monotonie” von Prof. Hoever

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben wir gelernt, was ein Grenzwert einer Folge ist. Im nächsten Kapitel werden wir uns damit beschäftigen, wie Grenzwerte leichter aus schon bekannten Grenzwerten berechnet werden können.

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