5.3 Lineare Gleichungssysteme

5.3 Lineare Gleichungssysteme#

Lineare Gleichungssysteme kommen in vielen Anwendungen vor. Ein typisches Anwendungsszenario sind Kräfteberechnungen in der Technischen Mechanik. Wir werden im nächsten Kapitel lineare Gleichungssysteme benötigen, um die Lage von Geraden und Ebenen zu untersuchen. Daher beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit linearen Gleichungssytemen, die aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten bestehen.

Lernziele#

Lernziele

  • Sie wissen, dass ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung haben kann.

  • Sie können mit dem Gauß-Algorithmus für alle drei Fälle die Lösung(en) berechnen.

Gauß-Algorithmus#

Für zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gibt es mehrere Verfahren, das Gleichungssytem zu lösen. In der Schule lernt man beispielsweise das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren. Bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten oder noch größeren Gleichungssystemen ist es sinnvoll, eine festgelegte Strategie zu verfolgen, da man sonst leicht den Überblick verliert. Ein bewährtes Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssytemen mit drei und mehr Gleichungen ist der Gauß-Algorithmus.

Beim Gauß-Algorithmus wird das lineare Gleichungssytem zunächst in eine Dreiecksform gebracht. Anstatt Dreiecksform wird auch der Begriff Zeilen-Stufenform verwendet. Danach werden die Unbekannten durch Rückwärtseinsetzen berechnet. Im Folgenden wird der Gauß-Algorithmus an einem Beispiel demonstriert.

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:

\[\begin{align*} 3x_1 - 4x_2 - 4x_3 &= -4 \\ 6x_1 - 6x_2 - 7x_3 &= -11 \\ -3x_1 + 6x_2 + 7x_3 &= 11 \\ \end{align*}\]

Wir wollen das lineare Gleichungssystem in die Dreiecksform bringen. Um einen besseren Überblick zu behalten, welche Umformungen dabei vorgenommen werden, nummerieren wir die Gleichungen mit (Z1), (Z2) und (Z3) für Zeile 1, Zeile 2 und Zeile 3.

\[\begin{alignat*}{2} 3x_1 - 4x_2 - 4x_3 &= -4 & &\quad (\text{Z1}) &\\ 6x_1 - 6x_2 - 7x_3 &= -11 & &\quad (\text{Z2}) &\\ -3x_1 + 6x_2 + 7x_3 &= 11 & &\quad (\text{Z3}) &\\ \end{alignat*}\]

Jetzt formen wir die zweite Gleichung um. Ziel der Umformung ist es, geschickt Vielfache der ersten Gleichung zu Vielfachen der zweiten Gleichung zu addieren, so dass de Term \(6x_1\) zu Null wird. Dazu multiplizieren wir die 1. Zeile mit 2 und subtrahieren dann die 2. Zeile. Diesen Schritt führen wir in einer Zwischenrechnung aus:

\[\begin{split}\begin{array}{crrrrr} 2\cdot (\text{Z1}) \quad & 6x_1 & -8x_2 & - 8x_3 &=& -8 \\ -(\text{Z2}) \quad & -6x_1 & +6x_2 & + 7x_3 &=& 11 \\ \hline 2\cdot (\text{Z1})-(\text{Z2}) \quad & & -2x_2 & - x_3 &=& 3\\ \end{array}\end{split}\]

Jetzt wird die dritte Gleichung umgeformt. Diesmal ist das Ziel, \(-3x_1\) auf Null zu bringen. Dazu brauchen wir nur 1. Zeile und 3. Zeile zu addieren. Die Zwischenrechnung lautet wie folgt:

\[\begin{split}\begin{array}{crrrrr} (\text{Z1}) \quad & 3x_1 & -4x_2 & -4x_3 &=& -4 \\ +(\text{Z3}) \quad & -3x_1 & +6x_2 & +7x_3 &=& 11 \\ \hline (\text{Z1})+(\text{Z3}) \quad & & 2x_2 & +3x_3 &=& 7 \\ \end{array}\end{split}\]

Nachdem wir diese Zwischenrechnungen durchgeführt haben, können wir die alten Gleichungen (Z2) und (Z3) durch die neuen Gleichungen ersetzen. Auf der linken Seite schreiben wir uns zur Erinnerung auf, welche Umformungen durchgeführt wurden. Auf der rechten Seite nummerieren wir neu durch.

\[\begin{alignat*}{2} && \quad 3x_1 - 4x_2 - 4x_3 &=-4 &&\quad (\text{Z1})\\ \textcolor{lightgray}{2\cdot (\text{Z1})-(\text{Z2})} && \quad -2x_2 -x_3 &=3 &&\quad (\text{Z2})\\ \textcolor{lightgray}{(\text{Z1})+(\text{Z3})} && \quad 2x_2 + 3x_3 &=7 &&\quad (\text{Z3})\\ \end{alignat*}\]

Der letzte Schritt zur Dreiecksform ist, die neue 3. Gleichung zo umzuformen, dass der Term \(2x_2\) verschwindet. Dazu brauchen wir aber nur die neue 2. Gleichung und die neue 3. Gleichung addieren. Wir lassen diesmal die ausführliche Zwischenrechnung weg und schreiben gleich das neue Gleichungssystem auf:

\[\begin{alignat*}{2} && \quad 3x_1 - 4x_2 - 4x_3 &=-4 &&\quad (\text{Z1})\\ && \quad -2x_2 -x_3 &=3 &&\quad (\text{Z2})\\ \textcolor{lightgray}{(\text{Z2})+(\text{Z3})} && \quad 2x_3 &=10 &&\quad (\text{Z3})\\ \end{alignat*}\]

Damit liegt das lineare Gleichungssystem in Dreiecksform vor. Nun lösen wir das Gleichungssystem durch Rückwärtseinsetzen. Wir nehmen uns die unterste Gleichung. Sie lautet

\[(\text{Z3}) \quad 2x_3 = 10.\]

Daraus folgt sofort \(x_3 = 5\). Nun wird \(x_3 = 5\) in Gleichung \((\text{Z2})\) eingesetzt und dann nach \(x_2\) aufgelöst:

\[(\text{Z2}) \quad -2x_2 - 5 = 3 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -4.\]

Nun werden \(x_3 = 5\) und \(x_2 = -4\) in Gleichung \((\text{Z1})\) eingesetzt und dann nach \(x_1\) aufgelöst:

\[(\text{Z1}) \quad 3x_1 - 4\cdot(-4) - 4\cdot 5 = -4 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0.\]

Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist eindeutig, die Lösungsmenge ist

\[\mathbb{L} = \{(0 \vert -4 \vert 5)\}.\]

Übung

Lösen Sie auf der Internetseite https://mathebattle.de/edu_randomtasks/training_show/39 solange lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren, bis Sie dreimal hintereinander eine Aufgabe korrekt gelöst haben.

Unendliche viele Lösungen#

Auch wenn die Gleichungen nicht zueinander passen, liefert der Gauß-Algorithmus eine passende Berechnungsvorschrift. In dem folgenden Beispiel ist eine Gleichung überflüssig. Das lineare Gleichungssytem hat unendlich viele Lösungen. Wir schauen uns an, wie dieser Fall mit dme Gauß-Algorithmus detektiert wird und wie die unendlich vielen Lösungen berechnet und beschrieben werden.

\[\begin{alignat*}{2} x_1 + 9x_2 - 8x_3 &= 0 & &\quad (\text{Z1}) &\\ -2x_1 + 9x_2 + 7x_3 &= -27 & &\quad (\text{Z2}) &\\ 3x_1 \phantom{+ 9x_2} - 15x_3 &= 27 & &\quad (\text{Z3}) &\\ \end{alignat*}\]

Eliminieren der ersten Terme der 2. und 3. Gleichung liefert:

\[\begin{alignat*}{2} && \quad x_1 + 9x_2 - 8x_3 &= 0 &&\quad (\text{Z1})\\ \textcolor{lightgray}{2\cdot (\text{Z1})+(\text{Z2})} && \quad 27x_2 -9x_3 &=-27 &&\quad (\text{Z2})\\ \textcolor{lightgray}{3\cdot(\text{Z1})-(\text{Z3})} && \quad 27x_2 -9x_3 &=-27 &&\quad (\text{Z3})\\ \end{alignat*}\]

Eliminieren des zweiten Terms der 3. Gleichung ergibt:

\[\begin{alignat*}{2} && \quad x_1 + 9x_2 - 8x_3 &= 0 &&\quad (\text{Z1})\\ && \quad 27x_2 -9x_3 &=-27 &&\quad (\text{Z2})\\ \textcolor{lightgray}{3\cdot(\text{Z1})-(\text{Z3})} && \quad 0 &=0 &&\quad (\text{Z3})\\ \end{alignat*}\]

Diesmal liegt kein Widerspruch vor. Leider haben wir zwar mit der 3. Zeile \(0=0\) eine wahre Aussage, aber diese Aussage hat keinen Informationsgehalt für unser Gleichungssystem. Es gibt nur noch zwei Gleichungen mit Informationen darüber, wie die drei Variablen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) zusammenhängen. Ein solches Gleichungssystem, bei dem es weniger Gleichungen als Unbekannte gibt, wird unterbestimmtes Gleichungssytem genannt.

Da es keinen Konflikt in 3. Gleichung, wenn wir annehmen, dass \(x_3\) eine beliebige Zahl ist, es gibt also unendliche viele Lösungen. Um formal auch kenntlich zu machen, dass jede bleibige Zahl für \(x_3\) verwendet werden darf, führen wir den sogenannten Parameter \(t\) ein und setzen die gescuhte Lösung auf \(t\), also

\[(\text{Z3}) \quad x_3 = t.\]

Diese »Lösung« setzen wir dann in die 2. Gleichung ein und lösen nach \(x_2\) auf:

\[(\text{Z2})\quad 27x_2 -9t = -27 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -1 + \frac{1}{3}t.\]

Nun setzen wir \(x_3 = t\) und \(x_2 = -1 + \frac{1}{3}t\) in die 1. Gleichung ein und lösen nach \(x_1\) auf:

\[(\text{Z1})\quad x_1 + 9\cdot (-1 + \frac{1}{3}t)-8t = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 9 + 5t.\]

Die Lösungsmenge ist also

\[\mathbb{L} = \left\{\left( 9+5t \Big| -1 + \frac{1}{3}t \Big| t \right)\right\}.\]

Das kann mann auch in Vektorschreibweise notieren:

\[\begin{split}\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9+5t \\ -1 + \frac{1}{3}t\\ 0 + t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ \frac{1}{3}\\ 1 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Dabei haben wir in der dritten Komponente den Trick \(t = 0 + t\) verwendet.

Es gibt also unendliche viele Lösungen.

Übung

Lösen Sie auf der Internetseite https://mathebattle.de/edu_randomtasks/training_show/457 solange lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren, bis Sie dreimal hintereinander eine Aufgabe korrekt gelöst haben.

Keine Lösung#

Ein lineares Gleichungssytem kann auch keine Lösung haben, wenn Gleichungen zueinander im Konflikt stehen. Der Gauß-Algorithmus zeigt uns, ob ein solcher Fall vorliegt. Wir nehmen das Beispiel

\[\begin{alignat*}{2} -2x_1 + 9x_2 - 10x_3 &= -68 & &\quad (\text{Z1}) &\\ -8x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 204 & &\quad (\text{Z2}) &\\ 14x_1 + 5x_2 - 16x_3 &= -475 & &\quad (\text{Z3}) &\\ \end{alignat*}\]

Eliminieren der ersten Terme der 2. und 3. Gleichung liefert:

\[\begin{alignat*}{2} && \quad -2x_1 + 9x_2 - 10x_3 &=-68 &&\quad (\text{Z1})\\ \textcolor{lightgray}{4\cdot (\text{Z1})-(\text{Z2})} && \quad 34x_2 -43x_3 &=-476 &&\quad (\text{Z2})\\ \textcolor{lightgray}{7\cdot(\text{Z1})+(\text{Z3})} && \quad 68x_2 -86 x_3 &=-951 &&\quad (\text{Z3})\\ \end{alignat*}\]

Eliminieren des zweiten Terms der 3. Gleichung ergibt:

\[\begin{alignat*}{2} && \quad -2x_1 + 9x_2 - 10x_3 &=-68 &&\quad (\text{Z1})\\ && \quad 34x_2 -43x_3 &=-476 &&\quad (\text{Z2})\\ \textcolor{lightgray}{2\cdot(\text{Z2})-(\text{Z3})} && \quad 0 &=-1 &&\quad (\text{Z3})\\ \end{alignat*}\]

In der 3. Gleichung liegt ein Widerspruch vor. Die Aussage \(0=-1\) ist falsch. Damit kann das lineare Gleichungssystem keine Lösung haben. Wir schreiben

\[\mathbb{L} = \{\,\}.\]

für die Lösungsmenge die leere Menge hin.

Übung

Lösen Sie auf der Internetseite https://mathebattle.de/edu_randomtasks/training_show/863 solange lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren, bis Sie dreimal hintereinander eine Aufgabe korrekt gelöst haben.

In dem folgenden Video werden alle drei Möglichkeiten noch einmal ausführlich vorgerechnet.

Video “Gauß Algorithmus – Lineare Gleichungssysteme lösen” von Mathematrick

Auf der folgenden Internetseite finden Sie neben einem Video und Erläuterungen auch ein Quiz zum Gauß-Verfahren.

Zusammenfassung und Ausblick#

Im nächsten Kapitel werden wir lineare Gleichungssyteme aufstellen, um zu untersuchen, ob sich Geraden und Ebenen schneiden. Mit Hilfe des Gauß-Algorithmus werden wir Schnittpunkte und Schnittgeraden berechnen.

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