12.2 Regel von Bernoulli-de L’Hospital

12.2 Regel von Bernoulli-de L’Hospital#

Die Regel von Bernoulli-de L’Hospital erlaubt die Berechnung von Funktionsgrenzwerten der Form \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\). Oft wird auch nur der kürzere Name Regel von L’Hospital verwendet.

Lernziele#

Lernziele

  • Sie können die Regel von Bernoulli-de L’Hospital anwenden, um Grenzwerte auszurechnen.

  • Sie wissen, dass sich die Sinusfunktion für kleine Werte \(x\) wie \(x\) selbst verhält, also \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1.\)

Regel von Bernoulli-de L’Hospital#

Die Regel von L’Hospital kann nur unter bestimmten Bedingungen angewendet werden:

  1. Form: Der Grenzwert der betrachteten Funktionen muss entweder die Form \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\) haben.

  2. Differenzierbarkeit: Sowohl der Zähler \(f(x)\) als auch der Nenner \(g(x)\) müssen im betrachteten Intervall differenzierbar sein.

  3. Existenz des Grenzwertes: Der Grenzwert \(\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) muss existieren.

Seien \(f(x)\) und \(g(x)\) differenzierbar in einem Intervall um \(x_0\) mit Ausnahme von \(x_0\) selbst. Wenn \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0\) oder \(\pm\infty\), dann gilt:

\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)},\]

vorausgesetzt, der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.

Beispiele#

Beispiel 1: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\)#

Die Funktionsgrenzwerte der Zählerfunktion \(f(x)=\sin(x)\) und der Nennerfunktion \(g(x)=x\) lauten

\[\lim_{x\to 0}\sin(x) = 0, \; \lim_{x\to 0}x = 0.\]

Damit hat der Grenzwert

\[\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}\]

die Form \(\frac{0}{0}\). Sowohl die Zählerfunktion als auch die Nennerfunktion sind differenzierbar, ihre Ableitungen lauten

\[f'(x) = \cos(x), \; g'(x) = 1.\]

Damit können wir die Regel von L’Hospital anwenden:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1.\]

Beispiel 2: \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\)#

Die Funktionsgrenzwerte der Zählerfunktion \(f(x)=\ln(x)\) und der Nennerfunktion \(g(x)=x\) lauten

\[\lim_{x\to\infty}\ln(x)=\infty, \; \lim_{x\to\infty}x = \infty.\]

Damit hat der Grenzwert

\[\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}\]

die Form \(\frac{\infty}{\infty}\). Beide Funktionen sind differenzierbar, ihre Ableitungen lauten

\[f'(x) = \frac{1}{x}, \; g'(x) = 1.\]

Damit können wir die Regel von L’Hospital anwenden:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.\]

Mehrfaches Anwenden der Regel#

Es kann vorkommen, dass die Regel von L’Hospital mehrmals angewendet werden muss, wenn der Grenzwert nach dem ersten Schritt noch eine unbestimmte Form hat. Ein Beispiel dafür ist \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}\).

Wir setzen \(f(x) = 1 - \cos(x)\) und \(g(x) = x^2\). Die ersten Ableitungen sind

\[f'(x) = \sin(x), \; g'(x) = 2x.\]

Die einmalige Anwendung der Regel von L’Hospital reicht diesmal nicht aus:

\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x}.\]

Es liegt immer noch die Form \(\frac{0}{0}\) vor. Aber wir können ein weiteres Mal ableiten und die Regel von L’Hospital erneut anwenden:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{2} = \frac{1}{2}.\]

Somit gilt insgesamt

\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{2} = \frac{1}{2}.\]

Weitere Beispiele finden Sie in dem folgenden Video.

Video “Grenzwerte von Funktionen: L’Hospital” von MathePeter

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben Sie gelernt, Funktionsgrenzwerte von unbestimmten Ausdrücken der Form \(\frac{0}{0}\) und \(\frac{\infty}{\infty}\) zu bestimmen, falls die Funktionen differenzierbar sind. In den nächsten Kapiteln untersuchen wir Funktionen bzgl. ihrer geometrischen Eigenschaften mit Hilfe von Ableitungen.

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