7.1 Determinanten

In den vorangegangenen Kapiteln haben wir Matrizen kennengelernt, die eine besondere Struktur haben. In diesem Kapitel geht es um eine Eigenschaft von quadratischen Matrizen, die durch eine Zahl gemessen wird und nützliche Anwendungen hat, die sogenannte Determinante.

Lernziele

Lernziele

• Sie können die Determinante einer \(2\times 2\)-Matrix berechnen.

• Sie können die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix mit \(n>2\) berechnen, indem Sie den Laplaceschen Entwicklungssatz anwenden.

Determinante von \(2\times 2\)-Matrizen

Die Determinante gibt es nur für quadratische Matrizen. Für eine \(2\times 2\)-Matrix

\[\begin{split}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\end{split}\]

wird die Determinante durch den Ausdruck \(a\cdot d - c\cdot b\) berechnet.Die Determinante ordnet jeder quadratischen Matrix eine reelle Zahl zu. Diese Eigenschaft ist also eine Funktion und wird in der Regel mit \(\det\) abgekürzt. Es gilt also

\[\det(\mathbf{A}) = a\cdot d - c\cdot b.\]

Manchmal werden auch zwei senkrechte Striche genommen, die die Matrixklammern ersetzen, um die Determinante einer Matrix zu kennzeichnen:

\[\begin{split}\left|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right| = a\cdot d - c\cdot b.\end{split}\]

Wir betrachten ein Beispiel:

\[\begin{split}\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = \left|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix}\right| = 2\cdot 5 - 1\cdot 3 = 7.\end{split}\]

Determinante von \(n\times n\)-Matrizen

Hat die Matrix eine höhere Dimension, wird die Determinante rekursiv aus den Determinanten von kleineren Teilmatrizen berechnet. Dazu verwenden wir den sogenannten Laplaceschen Entwicklungssatz.

Bei der Determinantenberechnung mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz entwickeln wir die Determinante nach einer Zeile oder einer Spalte. Wenn wir die Determinante der Matrix \(\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}\) nach der i-ten Zeile entwickeln, gilt

\[\det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot (-1)^{i+j}\cdot\det(\mathbf{A}_{ij}),\]

wobei \(\mathbf{A_{ij}}\) diejenige Matrix ist, die entsteht, wenn die i-te Zeile und j-te Spalte gestrichen werden.

Wird hingegen nach der j-ten Spalte entwickelt, lautet die Formel folgendermaßen:

\[\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\cdot (-1)^{i+j}\cdot \det(\mathbf{A}_{ij}).\]

Auch hier bezeichnet \(\mathbf{A}_{ij}\) die Untermatrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

Die Formeln sind trocken und schwer zu merken. Am einfachsten ist es, vorab die Matrixelelemente mit einem Schachbrettmuster von Plus und Minus zu versehen, wie in dem folgenden Video demonstriert wird.

Video “Determinante - Laplace Entwicklungssatz” von Mathematrick

Übung “Berechnung von 3x3-Matrizen”

Berechnen Sie auf der Internetseite https://matex.mint-kolleg.kit.edu/MATeX/ solange Determinanten von \(3\times 3\)-Matrizen, bis Sie dreimal hintereinander eine Aufgabe korrekt gelöst haben.

Hinweis: Die Frage nach der Invertierbarkeit können Sie (voererst) ignorieren.

Übung “Berechnung von 4x4-Matrizen”

Berechnen Sie auf der Internetseite https://matex.mint-kolleg.kit.edu/MATeX/ solange Determinanten von \(4\times 4\)-Matrizen, bis Sie dreimal hintereinander eine Aufgabe korrekt gelöst haben.

Hinweis: Die Frage nach der Invertierbarkeit können Sie (voererst) ignorieren.

Eigenschaften von Determinanten

Die Determinante ist eine Eigenschaft von quadratischen Matrizen, aber sie selbst hat auch wiederum Eigenschaften und Besonderheiten, die wir hier notieren.

1. Die Determinante der Einheitmatrix ist Eins.

2. Die Determinante der transponierten Marix ist gleich der Determinanten der ursprünglichen Matrix.

3. Für quadratische Matrizen gleicher Dimension gilt:

   \[\det(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}) = \det(\mathbf{A})\cdot\det(\mathbf{B}).\]

4. Multipliziert man eine Zeile der Matrix mit einem Skalar, so wird auch die Determinante mit diesen Skalar multipliziert.

5. Ist \(s\) ein Skalar und \(\mathbf{A}\) eine quadratische Matrix der Dimension \(n\times n\), dann gilt:

   \[\det(s\cdot\mathbf{A}) = s^{n}\cdot\det(\mathbf{A}).\]

6. Hat die Matrix eine Zeile oder eine Spalte, die komplett aus Nullen besteht, dann ist die Determinante Null.

7. Sind zwei Zeilen gleich, ist die Determinante Null.

8. Sind zwei Spalten gleich, ist die Determinante Null.

9. Vertauscht man zwei Zeilen, dann wechselt das Vorzeichen der Determinante.

10. Vertauscht man zwei Spalten, dann wechselt das Vorzeichen der Determinante.

11. Addiert man das Vielfache einer anderen Zeile(Spalte) zu einer anderen Zeile, dann ändert sich die Determinante nicht. Das kann man ausnutzen, um die Determinante einer Matrix beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus zu berechnen oder viele Nullen in der Matrix zu erzeugen.

Diese und weitere Rechenregeln werden auch in dem folgenden Video erläutert.

Video “Rechenregeln für Determinanten” von MathePeter

Zusammenfassung und Ausblick

Zunächst ist die Determinante nur eine Kennzahl einer quadratischen Matrix. Wir haben uns in diesem Kapitel mit der Definition und den Rechenregeln beschäftigt. In den nächsten Kapiteln werden wir die Determinante anwenden um beispielsweise zu entscheiden, ob eine Matrix invertierbar ist oder um die Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen zu berechnen.