10.2 Ableitung von elementaren Funktionen

10.2 Ableitung von elementaren Funktionen#

Es ist umständlich, den Differentialquotienten zu berechnen. Glücklicherweise sind für viele wichtige Funktionen die Ableitungen schon bekannt.

Lernziele#

Lernziele

  • Sie können eine konstante Funktion ableiten, d.h.

\[f(x)=C \Rightarrow f'(x)=0.\]

  • Sie können eine Potenzfunktion ableiten, d.h.

\[f(x)=x^{n} \; (n\in\mathbb{N})\; \Rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}.\]

  • Sie können die Wurzelfunktion ableiten, d.h.

\[f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

  • Sie können die trigonometrischen Funktionen ableiten, d.h.

\[\begin{align*} f(x)=\sin(x) &\Rightarrow f'(x)=\cos(x) \\ f(x)=\cos(x) &\Rightarrow f'(x)=-\sin(x) \\ f(x)=\tan(x) &\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)} \\ f(x)=\cot(x) &\Rightarrow f'(x)=-\frac{1}{\sin^2(x)} \\ \end{align*}\]

  • Sie können die Exponentialfunktion ableiten, d.h.

\[f(x)=e^{x}=\exp(x) \Rightarrow f'(x)=e^{x}=\exp(x).\]

  • Sie können die Logarithmusfunktion ableiten, d.h.

\[f(x)=\ln(x) \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}.\]

Die Ableitungsfunktion#

Im letzten Kapitel haben wir den Differentialquotienten bzw. die Ableitung an einer einzelnen Stelle berechnet. In diesem Abschnitt wollen wir dieses Vorgehen auf ein Intervall verallgemeinern. Wir betrachten dazu als Beispiel die Funktion \(f(x) = x^2\). Zunächst berechnen wir die Ableitung an einer einzelnen Stelle, beispielsweise für \(x_1 = 2\). Dazu bilden wir den Grenzwert der Folge der Differentialquotienten:

\[\begin{align*} f'(2) &= \lim_{x_2 \to 2} \frac{f(x_2) - f(2)}{x_2 - 2} = \\ &= \lim_{x_2 \to 2} \frac{x_2^2 - 4}{x_2 - 2} = \\ &= \lim_{x_2 \to 2} \frac{(x_2 - 2) \cdot (x_2 + 2)}{x_2 - 2} = \\ &= \lim_{x_2 \to 2} x_2 + 2 = \\ &= 4. \end{align*}\]

Jetzt verallgemeinern wir die Grenzwertbildung auf beliebige Stellen \(x\in\mathbb{R}\). Die Vorgehensweise zur Berechnung des Grenzwertes bleibt dabei gleich:

\[\begin{align*} f'(x) &= \lim_{x_2 \to x} \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} = \\ &= \lim_{x_2 \to x} \frac{x_2^2 - x^2}{x_2 - x} = \\ &= \lim_{x_2 \to x} \frac{(x_2 - x) \cdot (x_2 + x)}{x_2 - x} = \\ &= \lim_{x_2 \to x} x_2 + x = \\ &= 2x. \end{align*}\]

Wir haben also zu jeder Stelle \(x\in\mathbb{R}\) einen Wert für die Ableitung \(f'(x)\) an dieser Stelle gefunden, nämlich \(f'(x) = 2x\). Damit ist \(f'\) eine Funktion, denn jedem x-Wert wird eindeutig ein y-Wert f’(x) zugeordnet. Diese Erkenntnis klingt erst einmal banal, hilft ungemein bei der konkreten Berechnung von Ableitungen. Für häufig vorkommene Funktionen sind deren Ableitungsfunktionen in Tabellen hinterlegt. Und wie wir in den nächsten Abschnitten sehen werden, können viele komplizierte Funktionen aus einfachen Grundfunktionen zusammengesetzt werden. Kennen wir die Ableitungsfunktionen der Grundfunktionen, können wir so wieder die Ableitungsfunktion der komplizierten Funktion zusammensetzen.

Was ist … die Ableitungsfunktion?

Wenn für eine Funktion \(f\) an jeder Stelle ihrer Definitionsmenge die Ableitung existiert, kann eine neue Funktion gebildet werden, die jedes \(x\) aus der Definitionsmenge auf die Ableitung \(f'(x)\) abbildet. Diese Funktion \(f'\) wird Ableitungsfunktion von \(f\) genannt.

Ableitungen von wichtigen Grundfunktionen#

Eine konstante Funktion ist besonders leicht abzuleiten, denn die Ableitung ist an jeder Stelle Null:

\[f(x)=C \Rightarrow f'(x)=0.\]

Beispiel:

\[f(x) = 5 \Rightarrow f'(x) = 0.\]

Die Ableitung einer Potenzfunktion ergibt wieder eine Potenzfunktion, allerdings wird der Exponent um Eins verringert und der alte Exponent wird ein neuer Vorfaktor. Für natürliche Exponenten \(n\in\mathbb{N}\) lautet die Ableitung:

\[f(x)=x^{n} \Rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}.\]

Die Wurzelfunktion ist etwas schwieriger abzuleiten.

\[f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

Tatsächlich kann die Wurzelfunktion auch als Potenzfunktion interpretiert werden, also \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Für Potenzfunktionen, bei denen der Exponent ein Bruch oder gar eine reelle Zahl ist, gelten dieselben Ableitungsregeln wie für Potenzfunktionen mit natürlichem Expoenten. Die einzige Einschränkung dabei ist, dass \(x\) positiv sein muss.

\[f(x) = x^{r} \Rightarrow f'(x) = r\cdot x^{r-1}, \quad x >0.\]

Mit diesem Wissen kann die Ableitung der Wurzelfunktion auch folgendermaßen berechnet werden:

\[f(x) = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}.\]

Die Liste der Ableitungen der trigonometrischen Funktionen lautet:

\[\begin{align*} f(x)=\sin(x) &\Rightarrow f'(x)=\cos(x) \\ f(x)=\cos(x) &\Rightarrow f'(x)=-\sin(x) \\ f(x)=\tan(x) &\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)} \\ f(x)=\cot(x) &\Rightarrow f'(x)=-\frac{1}{\sin^2(x)} \\ \end{align*}\]

Am einfachsten lässt sich die Exponentialfunktion ableiten, sie bleibt sie selbst.

\[f(x)=e^{x}=\exp(x) \Rightarrow f'(x)=e^{x}=\exp(x).\]

Zum Abschluss der Liste mit den wichtigsten Ableitungsfunktionen notieren wir noch die Ableitung der Logarithmsfunktion:

\[f(x)=\ln(x) \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}.\]
Video zu “Wichtige Ableitungen” von Mathematische Methoden

Zusammenfassung und Ausblick#

Kennen wir die Ableitungen von elementaren Grundfunktionen, können wir oft Ableitungen von komplizierteren Funktionen aus diesen zusammensetzen. Wie das funktioniert, sehen wir im nächsten Kapitel.

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