5.2 Ebenen#
Eine Ebene ist ein zweidimensionales, flaches Gebilde im Raum, das unendlich ausgedehnt ist. In diesem Kapitel werden wir zwei Varianten kennenlernen, Ebenen mathematisch zu beschreiben, nämlich die Parametergleichung und die Normalengleichung.
Lernziele#
Lernziele
Sie können eine Ebene durch ihre Parametergleichung beschreiben.
Sie können eine Ebene durch ihre Normalengleichung beschreiben.
Parametergleichung der Ebene#
Die Lage einer Ebene im dreidimenionalen Raum \(\mathbb{R}^3\) kann man durch verschiedene Angaben eindeutig festlegen. Beispielsweise genügt es drei Punkte anzugeben, wobei der dritte Punkt nicht auf der Geraden durch die ersten beiden Punkte liegen darf. Wir nennen diese Punkte im Folgenden \(P\), \(Q\) und \(R\). Wir können den Verbindungsvektor \(\vec{u} := \overrightarrow{PQ}\) zwischen \(P\) und \(Q\) bilden und den Verbindungsvektor \(\vec{v}:=\overrightarrow{PR}\) zwischen \(P\) und \(R\). Jeder Punkt der Ebene kann dann erreicht werden, indem wir den Punkt \(P\) um Vielfache in die erste Richtung \(\vec{u}\) und um Vielfache in die zweite Richtung \(\vec{v}\) verschieben. Formal aufgeschrieben erhalten wir
Wie bei der Parametergleichung der Ebene nennen wir die beiden reellen Zahlen \(s\) und \(t\) Parameter der Ebenengleichung. Für jede Kombination von Werten \(s\in\mathbb{R}\) und \(t\in\mathbb{R}\) erhalten wir einen anderen Punkt in der Ebene und umgekehrt gehört zu jedem Punkt der Ebene ein eindeutiges Paar von Parametern \((s,t)\). Manchmal wird die Ebenengleichung daher auch als
notiert.
Wie lautet … die Parametergleichung der Ebene?
Eine Ebene ist eine Menge von Punkten \(X\in\mathbb{R}^3\), die sich schreiben lässt als
Die Skalare \(s\in\mathbb{R}\) und \(t\in\mathbb{R}\) werden Parameter genannt und die beiden Vektoren \(\vec{u}\in\mathbb{R}^3\) und \(\vec{v}\in\mathbb{R}^3\) Richtungsvektoren. Wir schreiben auch kurz \(E: X = s\cdot\vec{u} + t\cdot\vec{v}\) und nennen diese Darstellung Parametergleichung der Ebene.
Das folgende Video und die dazugehörigen Erläuterungen erklären die Parameterform einer Ebene. In dem Video werden Punkte als Vektoren notiert.
Normalengleichung der Ebene#
Alternativ kann eine Ebene auch durch einen Punkt \(P\), der in der Ebene liegt, und den sogenannten Normalenvektor beschrieben werden. Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Damit ist gemeint, dass zwei beliebige Punkte der Ebene verbunden werden können und dieser Verbindungsvektor orthogonal zum Normalenvektor ist.
Wir nennen jetzt allgemein irgendeinen Punkt der Ebene \(X\). Laut obiger Überlegung ist also der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PX} = X - P\) orthogonal zum Normalenvektor \(\vec{n}\). Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. In mathematischer Notation gilt also:
Drücken wir den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PX}\) als Differenz der beiden Punkte \(X\) und \(P\) aus, erhalten wir die Normalengleichung der Ebene
Der Normalenvektor braucht dabei nicht normiert sein. Ist er jedoch normiert, d.h. gilt \(|\vec{n}|=1\), dann bezeichnet man die Normalengleichung auch als hessesche Normalenform.
Diese Gleichung lässt sich nicht explizit nach \(X\) auflösen. Die Punkte der Ebene werden also nur indirekt charakterisiert. Wir können allerdings die Gleichung noch weiter umformen, was die Analyse von Lagebeziehungen und die Berechnung von Abaständen und Winkeln vereinfachen kann. Dazu berechnen wir das Skalarprodukt explizit:
Ausmultiplizieren liefert
Normalerweise werden die Terme ohne “X” auf die rechte Seite gebracht und mit \(d\) bezeichnet:
Diese Darstellung ist nach wie vor eine Normalengleichung. In manchen Büchern wird diese Form jedoch speziell Koordinatengleichung genannt.
Was ist … die Normalengleichung der Ebene?
Eine Ebene ist eine Menge von Punkten \(X\in\mathbb{R}^3\), die sich schreiben lässt als
Der Vektor \(\vec{n}\in\mathbb{R}^3\) wird Normalenvektor genannt und \(P\in\mathbb{R}^3\) ist ein Punkt, der in der Ebene liegt. Wir schreiben auch kurz \(E: \vec{n}\cdot (X-P) = 0\) und nennen diese Darstellung Normalengleichung der Ebene. Ist der Normalenvektor normiert, nennt man die Darstellung hessesche Normalengleichung.
Die folgenden Videos und die dazugehörigen Erläuterungen erklären die Normalenform einer Ebene. In den Videos werden Punkte als Vektoren notiert.
Hier können Sie üben, zunächst die Parametergleichungen einer Ebeneaufzustellen und dann diese in die Normalengleichung (Anmerkung: wird hier Koordinatenbene genannt) umzuwandeln.
Übung “Koordinatenebene aus 3 Punkten aufstellen” von Mathebattle
Übung “Koordinatenebene aus einem Punkt und einer Geraden” von Mathebattle
Weiteres Lernmaterial#
Die folgenden Videos erklären die beiden Darstellungsformen erneut. Meist wird nicht strikt zwischen Punkten und Vektoren unterschieden.
Video “Parameterdarstellung Ebene” von Prof. Hoever
Video “Parameterdarstellung Ebene drei Punkte” von Prof. Hoever
Video “Normalendarstellung Ebene” von Prof. Hoever
Video “Umwandlung Parameter- zur Normalendarstellung” von Prof. Hoever
Video “Ebenengleichung aus drei Punkten” von MathePeter
Video “Parameterform Koordinatenform” von MathePeter
Zusammenfassung und Ausblick#
Nachdem wir nun die Gleichungen für Geraden und Ebenen gelernt haben, möchten wir als nächstes untersuchen, wie die Lage der Geraden und Ébenen zueinander ist. Bevor wir uns dieses Thema im übernächsten Kapitel erarbeiten, beschäftigen wir uns aber zunächst mit dem systematischen Lösen von linearen Gleichungssystemen. Das werden wir brauchen, um beispielsweise Schnittpunkte von Geraden und Ebenen berechnen zu können.