1.1 Ableitungen#
Die Differentialrechnung ist ein zentrales Thema der Analysis. Mit Hilfe der Differentialrechnung wird untersucht, wie sich Funktionen verändern. In diesem Kapitel werden die dazu nötigen Begriffe eingeführt. Zunächst geht es um Veränderungen in einem Bereich (mittlere Änderungsrate, Differenzenquotient und Steigung einer Sekante) und dann um punktuelle Veränderungen (momentane Änderungsrate, Differentialquotienten, Steigung einer Tangente, Ableitung).
Lernziele#
Lernziele
Sie wissen, was die mittlere Änderungsrate einer zeitabhängigen Größe ist und können diese berechnen.
Sie können den Differenzenquotienten einer Funktion berechnen.
Sie können den Differenzenquotient als Steigung der Sekante geometrisch interpretieren.
Sie wissen, was die momentane Änderungsrate einer zeitabhängigen Größe ist und können diese berechnen.
Sie können den Differentialquotienten bzw. die Ableitung einer Funktion berechnen.
Sie können den Differentialquotient/Ableitung als Steigung der Tangente geometrisch interpretieren.
Die mittlere Änderungsrate oder der Differenzenquotient#
2018 hat Italien ein neues System zur Geschwindigkeitsmessung in Betrieb genommen (siehe https://www.verkehrsrundschau.de). Das System funktioniert nach dem Prinzip Abschnittskontrolle, das wie folgt funktioniert. Entlang der Strecke befinden sich mehrere Kontrollpunkte. Wenn ein Auto den ersten Kontrollpunkt passiert, wird es fotografiert und sein Kennzeichen ermittelt. Wird das Auto dann beim nächsten Kontrollpunkt erneut per Kamera identifiziert, kann aus der Strecke zwischen den Kontrollpunkten und der verstrichenen Zeit zwischen den beiden Aufnahmen die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet werden. Ist die Durchschnittsgeschwindigkeit höher als die erlaubte Geschwindigkeit, wird automatisch ein Bußgeldverfahren eingeleitet.
Ein deutscher Tourist ist mit seinem Pkw auf der Autobahn unterwegs. Nachdem er auf die Autobahn aufgefahren ist, protokolliert sein Fahrtenschreiber zweimal pro Minute die zurückgelegte Strecke. Die Höchstgeschwindigkeit auf italienischen Autobahnen ist 130 km/h. Wird er einen Bußgeldbescheid bekommen?
Mini-Übung
Wenn Sie mit dem Mauszeiger über die Punkte des Diagramms fahren, werden die Zeit und die Strecke, die seit der Autobahnauffahrt zurückgelegt wurde, eingeblendet.
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum [10 min, 40 min].
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum [15 min, 20 min].
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum [20 min, 30 min].
Lösung
Die Strecke zum Zeitpunkt t1 = 10 min ist s1 = 1.1 km. Zum Zeitpunkt t2 = 40 min wurden s2 = 65.6 km zurückgelegt. Damit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum [10 min, 40 min]
Die Strecke zum Zeitpunkt t1 = 15 min ist s1 = 11.5 km. Zum Zeitpunkt t2 = 20 min wurden s2 = 22.1 km zurückgelegt. Damit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum [15 min, 20 min]
Die Strecke zum Zeitpunkt t1 = 20 min ist s1 = 22.1 km. Zum Zeitpunkt t2 = 30 min wurden s2 = 44.4 km zurückgelegt. Damit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum [20 min, 30 min]
Je nachdem, wo das Auto die Kontrollpunkte passiert hat, droht ein Bußgeld.
Die obige Vorgehensweise zur Ermittlung der Durchschnittsgeschwindigkeit kann auf andere zeitabhängige Größen verallgemeinert werden. Ist auf der x-Achse die Zeit \(t\) aufgetragen und auf der y-Achse die zeitabhängige Größe \(f(t)\), so gibt der Quotient
die sogenannte mittlere Änderungsrate der zeitabhängigen Größe \(f(t)\) an.
Was ist … die mittlere Änderungsrate?
Die mittlere Änderungsrate einer zeitabhängigen Größe gibt an, wie sich die zeitabhängige Größe durchschnittlich zwischen zwei Zeitpunkten verändert. Sie wird folgendermaßen berechnet:
Dabei stehen \(t_1\) und \(t_2\) für die beiden Zeitpunkte und \(f(t_1)\) und \(f(t_2)\) jeweils für den Wert der zeitabhängigen Größe zu diesen Zeitpunkten.
Allgemeiner betrachtet, kann jeder funktionale Zusammenhang, bei dem auf der x-Achse die Ursache und auf der y-Achse die Wirkung dargestellt sind, auf diese Weise analysiert werden. Die abhängige Größe (Wirkung) bezeichnen wir mit \(f\), die Ursache mit \(x\). Betrachten wir zwei Messungen zur Ursache \(x_1\) und zur Ursache \(x_2\), dann wird der Quotient
ganz allgemein Differenzenquotient genannt. Im Zähler steht eine Differenz, im Nennen steht eine Differenz, der Term ist also ein Quotient von Differenzen oder kurz ausgedrückt, ein Differenzenquotient. Er gibt an, wie sich durchschnittlich die Wirkung verändert, wenn sich deren Ursache verändert.
Was ist … der Differenzenquotient?
Für eine reellwertige Funktion \(f\), bei der das Intervall \([x_1, x_2]\) zur Definitionsmenge gehört, bezeichnen wir den Term
als Differenzenquotient von \(f\) im Intervall \([x_1, x_2]\).
Der Differenzenquotient geometrisch interpretiert#
Bisher haben wir zwei verschiedene Kontrollpunkte auf der Autobahn oder allgemein zwei verschiedene Ursachen \(x_1\) und \(x_2\) betrachtet. Betrachten wir die Punkte \((x_1, f(x_1))\) und \((x_2, f(x_2))\) rein geometrisch, also mit ihren Koordinaten \((x_1,y_1)\) und \((x_2,y_2)\), so lautet der Differenzenquotient
Verbinden wir die beiden Punkte \((x_1,y_1)\) und \((x_2,y_2)\) durch eine Gerade, dann ist der Differenzenquotient die Steigung dieser Gerade. Diese spezielle Gerade, die zwei Punkte eines Funktionsgraphens miteinander verbindet, wird Sekante genannt. Der Differenzenquotient ist also die Steigung der Sekante.
Video zu “Mittlere Änderungsrate” von Mathematrick
Die momentane Änderungsrate oder der Differentialquotient#
Die mittlere Änderungsrate gibt uns eine durchschnittliche Veränderung innerhalb eines Intervalls \([t_1, t_2]\). Aber was ist, wenn wir wissen möchten, wie sich eine zeitabhängige Größe genau in einem bestimmten Zeitpunkt ändert? Hier kommt die momentane Änderungsrate ins Spiel. Bei der Betrachtung der momentanen Änderungsrate konzentrieren wir uns auf ein Zeitintervall, das so klein wird, dass es fast einem einzelnen Punkt entspricht. In diesem Kontext nähert sich \(t_2\) kontinuierlich \(t_1\) an, bis sie praktisch identisch sind. Mathematisch ausgedrückt betrachten wir den Grenzwert \(t_2 \to t_1\). Da die mittlere Änderungsrate für das Intervall \([t_1, t_2]\) definiert ist, ändert sie sich mit dem Intervall. Es entsteht eine Folge von mittleren Änderungsraten für immer kleiner werdende Intervalle \([t_1, t_2]\). Wenn diese Folge von mittleren Änderungsraten einen Grenzwert hat, nennen wir diesen Grenzwert momentane Änderungsrate.
Was ist … die momentane Änderungsrate?
Die momentane Änderungsrate beschreibt die Änderung einer zeitabhängigen Größe für ein unendlich kleines Intervall. Mathematisch ausgedrückt, ist sie der Grenzwert der mittleren Änderungsrate:
sofern der Grenzwert existiert.
Im Gegensatz zum Differenzenquotienten, der sich auf ein Zeitintervall \(t_1, t_2]\) bezieht, bezieht sich der Differentialquotient auf einen einzelnen Zeitpunkt \(t_1\).
Betrachten wir das obige Beispiel des deutschen Touristen auf der italienischen Autobahn. Während die mittlere Änderungsrate uns die durchschnittliche Geschwindigkeit über ein bestimmtes Zeitintervall gibt, würde die momentane Änderungsrate uns die exakte Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, z.B. genau 20 Minuten nach der Autobahnauffahrt, anzeigen.
Auch hier können wir den Begriff der momentanen Änderungsrate auf beliebige funktionale Zusammenhänge verallgemeinern. Aus dem Differenzenquotienten wird so der Differentialquotient.
Was ist … der Differentialquotient?
Wenn das Intervall des Differenzenquotienten unendlich klein wird und der Grenzwert des Differenzenquotienten
existiert, nennt man diesen Grenzwert Differentialquotient der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_1\).
Geometrische Interpretation des Differentialquotienten#
Während der Differenzenquotient die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten eines Funktionsgraphen beschreibt, gibt der Differentialquotient die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt des Graphen an. Die Tangente ist eine Gerade, die den Graphen nur an diesem einen Punkt berührt.
Mathematisch ausgedrückt, wenn der Abstand \(\Delta x\) zwischen zwei x-Werten \(x\) und \(x + \Delta x\) gegen Null geht, nähert sich die Sekante einer Tangente an. Der Differentialquotient
gibt dann die Steigung dieser Tangente am Punkt \((x, f(x)\) an. Die Steigung der Tangente der Funktion \(f\) an der Stelle \(x\) wird meist mit einem Strich abgekürzt, also
Man spricht das als “f Strich an der Stelle x ist …” oder sagt “die Ableitung der Funktion f an der Stelle x ist …”.
Geometrisch gesehen ist die Tangente die beste lineare Näherung der Funktion an einem Punkt. Sie gibt uns eine Vorstellung davon, wie sich die Funktion in der unmittelbaren Umgebung dieses Punktes verhält.
Um noch einmal auf das Beispiel zurückzukommen: Betrachten Sie die Geschwindigkeit eines Autos auf der Autobahn. Während der Differenzenquotient uns die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten gibt, würde der Differentialquotient uns die exakte Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt anzeigen.
Video zu “Differentialquotient” von Mathematrick
Video zu “Ableitung” von Mathematische Methoden
Zusammenfassung und Ausblick#
In diesem Kapitel haben wir mit der Ableitung den zentralen Begriff der Differentialrechnung kennengelernt. Es ist jedoch mühsam, die Ableitung bzw. den Differentialquotienten als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten zu berechnen. Daher werden wir uns im nächsten Kapitel mit Rechenregeln für Ableitungen beschäftigen, die die Grenzwertbildung vermeiden.