4.4 Konvergenz von Potenzreihen

4.4 Konvergenz von Potenzreihen#

Lernziele#

Lernziele

Sie können erklären, was der Konvergenzbereich einer Potenzreihe ist.
Sie können den Konvergenzbereich einer Potenzreihe geometrisch interpretieren und anhand des Konvergenzradius entscheiden, ob eine Potenzreihe konvergiert oder divergiert oder berechnen, was in den Randpunkten passiert.
Sie kennen zwei Formeln auswendig, um den Konvergenzradius \(r\) einer Potenzreihe zu berechnen, nämlich

\[r = \lim_{k\to\infty}\left| \frac{a_k}{a_{k+1}}\right| \quad \text{ und } \quad r = \lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{|a_k|}},\]

und können diese auch anwenden.

Manchmal kann man eine Funktion mit einer Potenzreihe approximieren, manchmal nicht#

Experiment:

Gehen Sie mit Ihrem Mauszeiger auf das GeoGebra-Applet Taylor polynomial graphs und klicken Sie darauf (ggf. auf den Pfeil klicken), um es zu aktivieren.
Schauen Sie sich zunächst die Approximation der Kosinusfunktion an. Schieben Sie den Slider für n von 1 bis 30 und beobachten Sie? Ab wann ist Ihrer Meinung nach die Potenzreihe eine gute Approximation der Kosinusfunktion?
Ändern Sie jetzt die Funktion und geben Sie f(x) = ln(x) ein. Schieben Sie den Schieberegler wieder von 1 bis 30. Was beobachten Sie diesmal?

Für jedes x wird die Summe \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k\) einen anderen Grenzwert annehmen, sofern der Grenzwert überhaupt existiert. Diejenigen x, für die die Folge der Partialsummen konvergiert, nennen wir Konvergenzbereich.

Was ist … der Konvergenzbereich einer Potenzreihe?

Die Menge aller Zahlen \(x\), für die die spezielle Potenzreihe

\[p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k\]

konvergiert, wird Konvergenzbereich genannt.

Konvergenzradius#

Wenn man den Konvergenzbereich von Potenzfunktionen näher untersucht, stellt man fest, dass der Konvergenzbereich ein Intervall ist, in dessen Mitte die 0 liegt. Das Intervall ist symmetrisch zur Null, kann also als \((-r, +r)\) dargestellt werden. Die Zahl \(r\) wird als Konvergenzradius bezeichnet.

Wenn \(x < -r\) ist oder \(r < x\) ist, dann divergiert die Potenzreihe. Was passiert, wenn \(x = -r\) ist oder \(x = +r\) gilt, ist nicht klar. Diese sogenannten Randpunkte des Konvergenzbereichs müssen gesondert untersucht werden.

Betrachten wir nicht eine spezielle Potenzreihe sondern eine allgemeine Potenzreihe

\[p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x - x_0)^k,\]

dann ist nicht die 0 in der Mitte des Konvergenzbereichs, sondern \(x_0\). Der Konvergenzbereich ist dann \((-r + x_0, +r + x_0)\).

Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius#

Die beiden folgenden Videos zeigen, wie die beiden Formeln

Wurzelkriterium
Quotientenkriterium

zur Berechnung des Konvergenzradius funktionieren.