11.1 Polarkoordinaten

Polarkoordinaten bieten eine alternative Möglichkeit, die Position von Punkten in der Ebene zu beschreiben. Die häufigste Beschreibung der Position von Punkten sind kartesische Koordinaten. Insbesondere bei technischen Systemen, bei denen Symmetrie oder Rotation wichtig sind, sind Polarkoordinaten jedoch eine bessere Möglichkeit, die Position der Punkte anzugeben.

Lernziele

Lernziele

• Sie wissen, was Polarkoordinaten sind.

• Sie können kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten umrechnen.

• Sie können Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen.

Kartesische Koordinaten

Das am häufigsten verwendete Koordinatensystem ist das kartesische koordinatensystem. Es ist nach dem Methematiker René Descartes benannt, obwohl Descartes ein solches Koordinatensystem nie beschrieben hat. Das Hauptmerkmal von kartesischen Koordinatensytemen ist, dass die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen. Die folgende Abbildung zeigt ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung \((0,0)\) und einem Punkt an der Position \(P(2\sqrt{3},2)\).

Fig. 28 Kartesisches zweidimensionales Koordinatensystem

Polarkoordinaten

Eine alternative Beschreibung ist, die Entfernung und den Winkel zum Punkt anzugeben. Die Entfernung des Punktes wird bezogen auf den Koordinatenursprung angegeben. Der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen. Üblicherweise wird zuerst die Entfernung \(r\) notiert und dann der Winkel \(\varphi\), also

\[(r, \varphi).\]

Diese Art von Koordinaten wird als Polarkoordinaten bezeichnet.

In dem Beispiel wird so aus dem Punkt \((2\sqrt{3},2)\) in kartesischen Koordinaten der Punkt \((4, 30^{\circ})\), wie wir gleich sehen, wenn wir die Umrechnung von kartesischen zu Polarkoordinaten behandeln.

Fig. 29 Zweidimensionales Polarkoordinatensystem

Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten

Die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten erfolgt mit den Formeln:

\[\begin{align*} x &= r\cdot \cos(\varphi) \\ y &= r\cdot \sin(\varphi) \end{align*}\]

Bei dem obigen Beispiel ist \(r=4\) und \(\varphi=30^{\circ}\). Mit den beiden Formeln zur Berechnung der kartesischen Koordinaten \(x\) und \(y\) erhalten wir

\[\begin{align*} x &= 4 \cdot \cos(30^{\circ}) = 2\sqrt{3}, \\ y &= 4 \cdot \sin(30^{\circ}) = 2. \end{align*}\]

Zur Erinnerung folgt hier eine Einführung in Polarkoordinaten:

Video “Ebene Polarkoordinaten” von Daniel Jung

Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten

Die umgekehrte Berechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ist etwas schwieriger. Die Berechnung des Radius \(r\) ist noch einfach, da ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt und wir den Satz des Pythagoras anwenden können:

\[r = \sqrt{x^2 + y^2}.\]

Danach können wir entweder die Ankathete \(x\) oder die Gegenkathete \(y\) ausnutzen, um den Winkel \(\varphi\) zu bestimmen. Im rechtwinkligen Dreieck gelten

\[\cos(\varphi) = \frac{x}{r} \quad \text{ oder } \quad \sin(\varphi) = \frac{y}{r}.\]

Fig. 30 Die Umrechnung kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten nutzt das rechtwinklige Dreieck aus.

Mit den Umkehrfunktionen der Sinus- und der Kosinusfunktion erhalten wir

\[\varphi = \arccos\left(\frac{x}{r}\right) \quad \text{ oder } \quad \varphi = \arcsin\left( \frac{y}{r}\right).\]

Wo ist jetzt das Problem? Lösen wir die Gleichung

\[\sin(\varphi) = \frac{1}{2},\]

so hat diese Gleichung innerhalb des Intervalls \([0, 360^{\circ}]\) zwei Lösungen, nämlich \(30^{\circ}\) und \(150^{\circ}\). Aber welcher Winkel ist der richtige Winkel? Da die x-Koordinate positiv ist und der Punkt \(P(2\sqrt{2},2)\) im 1. Quadranten liegt, ist der richtige Winkel \(\varphi = 30^{\circ}\). Überprüfen Sie daher immer durch eine Zeichnung, welches der richtige Winkel ist.

In dem folgenden Video wird gezeigt, wie eine Funktion mit Variablen in kartesischen Koordinaten in eine Funktion mit Variablen in Polarkoordinaten umgerechnet werden kann:

Video zu “Polarkoordinaten” von Prof. Hoever

Weiteres Lernmaterial

https://de.serlo.org/mathe/45643/polarkoordinaten https://studyflix.de/mathematik/polarkoordinaten-1476