7.1 Gradient und Richtungsableitung

7.1 Gradient und Richtungsableitung#

Die partiellen Ableitungen sind die Ableitungen in Richtung der Koordinatenachsen. Bisher haben wir uns noch nicht damit beschäftigt, wie die Ableitung in eine beliebige Richtung berechnet wird. Das wird in diesem Kapitel nachgeholt.

Lernziele#

Lernziele

Sie wissen, was die Richtungsableitung einer Funktion von mehreren Variablen ist.
Sie wissen, wann Sie die Richtungsableitung auch mit Hilfe des Gradienten berechnen dürfen und kennen für diesen Fall auch die Berechnungsformel.
Sie kennen die Rechenregeln für Gradienten.

Richtungsableitung#

Die Ableitung einer Funktion von mehreren unabhängigen Variablen in eine Richtung wird wie bei eindimensionalen Funktionen über den Grenzwert des Differenzenquotienten eingeführt. Aber fangen wir langsam an. Die Funktion \(f\) soll also von mehreren Variablen abhängen. Wir nehmen an, dass es \(n\) Variablen sind und schreiben diese als \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), \(x_n\). Jetzt betrachten wir einen festen Punkt \(\vec{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) aus der Definitionsmenge, für den wir die Richtungsableitung bilden wollen. Die Richtung bezeichnen wir als \(\vec{v}\). Wie bei Richtungen üblich, soll die Richtung schon normiert angegeben werden. Damit ist gemeint, dass der Vektor \(\vec{v}\) die Länge 1 hat.

Als nächstes gehen wir von dem Punkt \(\vec{x}\) ein kleines Stück in Richtung \(\vec{v}\). Da die Richtung die Länge 1 hat, führen wir die reelle Zahl \(h\) ein und multiplizieren sie mit der Richtung. Das kurze Stück von \(\vec{x}\) in Richtung \(\vec{v}\) wird also durch

\[\vec{x} + h\cdot \vec{v}\]

beschrieben und hat automatisch die Länge \(h\).

Nun wird der Differenzenquotient gebildet. Im Zähler steht die Differenz zwischen dem Funktionswert an der Stelle \(\vec{x} + h\cdot \vec{v}\) und dem Funktionswert am Punkt \(\vec{x}\). Im Nenner steht der Abstand zwischen den beiden Punkten, was der Länge \(h\) entspricht. Damit lautet der Differenzenquotient

\[\frac{f(\vec{x}+h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}.\]

Der Grenzwert für \(h \to 0\) ist die Richtungsableitung der Funktion \(f\) in Richtung \(\vec{v}\). Wir verwenden für die Richtungsableitung das Symbol \(D_{\vec{v}}f\).

Was ist … die Richtungsableitung?

Die Richtungsableitung der Funktion \(f\), die von mehreren Variablen abhängt, in die Richtung \(v\) ist der Grenzwert

\[D_{\vec{v}}f = \lim_{h\to 0} \frac{f(\vec{x}+h\cdot \vec{v}) - f(\vec{x})}{h}.\]

Das gilt allerdings nur dann, wenn die Richtungsableitung überhaupt existiert.

Wenn wir als Richtung \(\vec{v}\) einen der Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen wählen, erhalten wir genau die partiellen Ableitungen. Betrachten wir beispielsweise in einem zweidimensionalen Raum den Einheitsvektor in x-Richtung \(\vec{e}_1 = (1,0)\), dann gilt:

\[D_{\vec{e}_1}f(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y).\]

Entsprechend erhalten wir für den Einheitsvektor in y-Richtung \(\vec{e}_2 = (0,1)\):

\[D_{\vec{e}_2}f(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h} = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).\]

Allgemein gilt im \(n\)-dimensionalen Raum für den \(i\)-ten Einheitsvektor \(\vec{e}_i\):

\[D_{\vec{e}_i}f(\vec{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{x}).\]

Dieser Zusammenhang verdeutlicht, dass die partiellen Ableitungen tatsächlich Richtungsableitungen in Richtung der Koordinatenachsen sind. Die Richtungsableitung erweitert dieses Konzept auf beliebige Richtungen und ist somit eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung.

Manchmal kann die Richtungsableitung auch mit dem Gradienten berechnet werden#

Die Grenzwertbildung ist aufwendig. Schön wäre es, eine Formel für die Berechnung der Richtungsableitung zu haben. Die gibt es auch, aber nur, wenn die Funktion total differenzierbar ist. Diese Art der Differenzierbarkeit ist neu und tatsächlich werden wir die korrekte mathematische Definition der totalen Differenzierbarkeit in dieser Vorlesung nicht einführen. Bei Interesse kann die Definition der totalen Differenzierbarkeit bei Wikipedia → totale Differenzierbarkeit nachgelesen werden.

Glücklicherweise gehören Funktionen, deren partiellen Ableitungen alle stetig sind, zu den total differenzierbaren Funktionen. Daher beschränken wir uns auf diese Funktionen und halten fest:

Wie wird die Richtungsableitung berechnet?

Wenn alle partiellen Ableitungen der Funktion \(f\) stetig sind, kann die Richtungsableitung in Richtung \(\vec{v}\) auch mit dem Gradienten \(\nabla f\) berechnet werden. Dann gilt:

\[D_{\vec{v}}f(\vec{x}) = \nabla f(\vec{x}) \cdot \vec{v}.\]

Im folgendem Video wird ausführlich ein Beispiel vorgerechnet.

Rechenregeln für Gradienten#

Wie Sie sehen, hat der Gradient eine große Bedeutung für das Ableiten mehrdimensionaler Funktionen. Es wäre auch hier gut, die Berechnung des Gradienten zu vereinfachen und ggf. neue Gradienten aus schon bekannten Gradienten zusammenzubauen. Im Folgenden sind die Rechenregeln für Gradienten angegeben.

Ist \(c\) eine konstante reelle Zahl, so ist der Gradient davon der Nullvektor, also

\[\nabla c = 0.\]

Es gilt die Faktorregel:

\[\nabla (c\cdot f(\vec{x})) = c \cdot \nabla f(\vec{x}).\]

Es gilt die Summenregel:

\[\nabla \left(f(\vec{x}) + g(\vec{x})\right) = \nabla f(\vec{x}) + \nabla g(\vec{x}).\]

Es gilt die Produktregel:

\[\nabla \left(f(\vec{x})\cdot g(\vec{x})\right) = \nabla f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x}) + f(\vec{x})\cdot \nabla g(\vec{x}).\]
Und die Quotientenregel lautet:

\[\nabla \left(\frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})}\right) = \frac{\nabla f(\vec{x})\cdot g(\vec{x}) - f(\vec{x})\cdot \nabla g(\vec{x})}{g^2(\vec{x})}. \]

Auch eine Kettenregel gibt es, doch dafür müssen wir erst einmal vektorwertige Funktionen betrachten.

Oft ist es in der Praxis einfacher, nicht die obigen Rechenregeln für Gradienten anzuwenden, sondern direkt die Addition/Subtraktion/Multiplikation/Division auszuführen und danach den Gradienten auszurechnen. Im folgenden Beispiel werden beide Varianten am Beispiel der Produktregel vorgeführt.

Betrachten wir die Funktionen \(f(x,y) = x^2 + y^2\) und \(g(x,y) = xy\).

Die Gradienten dieser Funktionen sind:

\[\begin{align*} \nabla f(x,y) &= (2x, 2y)\\ \nabla g(x,y) &= (y, x). \end{align*}\]

Für das Produkt \(h(x,y) = f(x,y) \cdot g(x,y) = (x^2 + y^2) \cdot xy\) erhalten wir nach der Produktregel:

\[\begin{align*} \nabla h(x,y) &= g(x,y) \cdot \nabla f(x,y) + f(x,y) \cdot \nabla g(x,y)\\ &= xy \cdot (2x, 2y) + (x^2 + y^2) \cdot (y, x)\\ &= (2x^2y, 2xy^2) + ((x^2 + y^2)y, (x^2 + y^2)x)\\ &= (2x^2y + (x^2 + y^2)y, 2xy^2 + (x^2 + y^2)x)\\ &= (2x^2y + x^2y + y^3, 2xy^2 + x^3 + xy^2)\\ &= (x^2y(2 + 1) + y^3, xy^2(2 + 1) + x^3)\\ &= (3x^2y + y^3, 3xy^2 + x^3).\\ \end{align*}\]

Zur Überprüfung können wir \(h(x,y)\) direkt ausmultiplizieren

\[h(x,y) = (x^2 + y^2) \cdot xy = x^3y + xy^3\]

und dann partiell differenzieren

\[\begin{align*} &\frac{\partial h}{\partial x} = 3x^2y + y^3, \\ &\frac{\partial h}{\partial y} = x^3 + 3xy^2. \\ \end{align*}\]

Dies ergibt den Gradienten \(\nabla h(x,y) = (3x^2y + y^3, x^3 + 3xy^2)\), was mit dem ersten Ergebnis übereinstimmt.

In den folgenden Videos können Sie sich die Rechenregeln für Gradienten ansehen.

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben wir die Richtungsableitung gelernt. Für Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, kann die Richtungsableitung mit Hilfe des Gradienten berechnet werden. Abgerundet wurde dieses Kapitel durch Rechenregeln für Gradienten. Offensichtlich fehlt eine Kettenregel. Dazu benötigen wir vektorwertige Funktionen, die wir im nächsten Kapitel lernen.