7.1 Definition und Visualisierung#
Bisher haben wir nur Funktionen kennengelernt, bei denen eine reelle Zahl in die Funktionsvorschrift eingesetzt wurde und eine reelle Zahl herauskam. Die mathematische Schreibweise dafür ist \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\).
Allerdings ist die Welt nicht so eindimensional. Die folgende Abbildung zeigt beispielsweise die durchschnittliche Solarstrahlung in Deutschland. Dies ist mathematisch gesehen eine Funktion von mehereren Variablen, nämlich Längen- und Breitengrad, also \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\).
Fig. 16 Solarstrahlung in Deutschland#
(Quelle: “Solar Radiation Map: Globalstrahlung Deutschland, SolarGIS 2011”, Autor: SolarGIS Lizenz: CC BY-SA 3.0)
In diesem Kapitel werden wir uns Funktionen von mehreren unabhängigen Variablen genauer ansehen und insbesondere erarbeiten, wie solche Funktionen visualisiert werden können.
Lernziele#
Lernziele
Sie können erklären, was eine Funktion von mehreren unabhängigen Variablen ist.
Sie können eine Funktion von zwei unabhängigen Variablen als Fläche im Raum zeichnen.
Sie können die Höhenlinien einer Funktion von zwei unabhängigen Variablen interpretieren und zeichnen.
Wiederholung: Begrifflichkeiten bei Funktionen#
Eine Funktion stellt eine Beziehung zwischen zwei Mengen her. Bei den bisher eingeführten Funktionen wird ein Element aus der sogenannten Definitionsmenge genommen und diesem genau ein Element aus der sogenannten Wertemenge zugeordnet. Wenn es darum geht, nun die Regeln dieser Beziehung genauer zu beschreiben, wird häufig eine Funktionsgleichung aufgestellt. Aber auch Tabellen oder grafische Abbildungen können dazu benutzt werden, um die Beziehung präzise zu beschreiben.
Als Beispiel einer Funktion betrachten wir die Parabel. Als Definitionsmenge wählen wir alle reelle Zahlen, also alle Zahlen \(x\in\mathbb{R}\). Als Funktionsvorschrift legen wir nun fest, dass jedem \(x\) sein eigenes Quadrat zugeordnet wird, also in mathematischer Schreibweise
Üblicherweise wird die Funktionsvorschrift als \(f(x)=x^2\) angegeben. Die grafische Darstellung sieht folgendermaßen aus:
Fig. 17 Grafische Darstellung der Funktion \(f(x)=x^2\)#
Anhand der grafischen Darstellung wird schnell deutlich, dass zwar die Definitionsmenge alle reellen Zahlen umfasst, die Wertemenge jedoch nur die nichtnegativen reellen Zahlen enthält.
Funktionen von mehreren unabhängigen Variablen#
Nun betrachten wir ein Beispiel einer “2:1-Beziehung”. Auch hier benötigen wir, um die Funktion zu beschreiben, eine Definitionsmenge, eine Wertemenge und eine eindeutige Zuordnungsregel. Der flapsige Ausdruck “2:1-Beziehung” bedeutet, dass zwei Elementen der Definitionsmenge ein Element der Wertemenge zugeordnet werden soll. Die Elemente der Definitionsmenge werden auch unabhängige Variablen genannt, das Element der Wertemenge wird abhängige Variable genannt.
Wir nennen die beiden unabhängigen Variablen \(x\) und \(y\) und legen fest, dass beides reelle Zahlen sind. Diesmal sollen beide Zahlen quadriert werden und aus den Quadraten dann die Summe gebildet werden. Mathematisch könnte das als
oder als
notiert werden. Die abhängige Variable \(z = f(x,y)\) ist 0 oder positiv, so dass die Wertemenge gleich \(\mathbb{R}^{+}\) ist.
Wenn die Funktion mehrere unabhängige Variablen hat, nennt man die Funktion auch multivariate Funktion.
Video zu “multivariate Funktionen” von Mathematische Methoden
Fassen wir zusammen.
Was ist … eine Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen?
Eine Funktion ist eine eindeutige Regel, die jedem Vektor aus mehreren unabhängigen Variablen (aus der Definitionsmenge) genau eine reelle Zahl (aus der Wertemenge) zuordnet.
Darstellungen von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen#
Um das obige Beispiel Funktion zu visualisieren, werden jetzt alle mögliche Kombinationen aus \(x\) und \(y\) gebildet, d.h. die unabhängigen Variablen kommen aus der xy-Ebene. Zur Darstellung der abhängigen Variable brauchen wir also noch eine dritte Dimension, die Höhe. Die Funktion \(f(x,y) = x^2 + y^2\), ein sogenannter Paraboloid, sieht dann folgendermaßen aus (Hinweis: die Grafik ist interaktiv!):
Zusätzlich zur Höhe wurde die Paraboloid-Fläche noch gemäß der Funktionswerte \(f(x,y)\) eingefärbt. Leider ist es gar nicht so einfach, Funktionen von mehreren Variablen zu zeichnen. Eine Funktion von zwei Variablen kann man noch ganz gut zeichnen, bei drei und gar mehr unabhängigen Variablen klappt es mit Zeichnungen nicht mehr.
Video “Multivariate Funktionen: Graph” von Mathematische Methoden
Höhenlinien#
Eine reduzierte Darstellung einer Funktion von zwei unabhängigen Variablen ist der sogenannte Contourplot, der Konturlinien visualisiert. Konturlinien sind auch aus dem Erdkundeunterricht bekannt, wo sie normalerweise Höhenlinien genannt werden.
Was sind … Höhenlinien?
Höhenlinien sind Linien in einer zweidimensionalen Ebene, die diejenigen Punkte \((x,y)\) verbinden, die den gleichen Funktionswert \(f(x,y)=c\) haben.
Das folgende Video erklärt den Contourplot.