Übungen

Übung 8.1

Berechnen Sie den Gradient \(\nabla f\) der folgenden Funktionen:

a) \(f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}\)

b) \(f(x,y,z) = \frac{1+x+y+z}{1+x^2+y^2+z^2}\)

c) \(f(x_1,x_2) = x_1^4 -5x_2^2 - 10x_1x_2\)

d) \(f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 -4x_1x_2 + x_2^3\cdot \sin(x_3)\)

Lösung

a)

\[\begin{align*} f(x,y) &= e^{-(x^2+y^2)} \\ \Rightarrow \quad \nabla f(x,y) &= \left(-2xe^{-x^2-y^2}, -2y e^{-x^2-y^2} \right) \end{align*}\]

b)

\[\begin{align*} f(x,y,z) &= \frac{1+x+y+z}{1+x^2+y^2+z^2} \\ \nabla f(x,y,z) &= \Big( \frac{-x^2-2x(y+z+1)+y^2+z^2+1}{(x^2+y^2+z^2+1)^2}, ...\\ &\frac{1+x^2-y^2+z^2 - 2y(1+x+z)}{(1 + x^2+y^2+z^2)^2}, \frac{1+x^2+y^2-z^2 - 2z(1+x+y)}{(1 + x^2+y^2+z^2)^2}\Big) \end{align*}\]

c)

\[\begin{align*} f(x_1,x_2) &= x_1^4 -5x_2^2 - 10x_1x_2 \\ \Rightarrow \quad \nabla f(x_1,x_2) &= \left( 4x_1^3-10x_2, -10(x_1+x_2) \right) \end{align*}\]

d)

\[\begin{align*} f(x_1,x_2,x_3) &= 2x_1^2 -4x_1x_2 + x_2^3\cdot \sin(x_3) \\ \Rightarrow \quad \nabla f(x_1,x_2,x_3) &= \left(4(x_1-x_2), 3x_2^2\sin(x_3)-4x_1, x_2^3\cos(x_3)\right) \end{align*}\]

Lösungsweg

a) \(f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}\)
Wir berechnen zunächst die partiellen Ableitungen:

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &= -2xe^{-x^2-y^2} \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= -2y e^{-x^2-y^2} \end{align*}\]

Damit ist der Gradient von f:

\[\nabla f(x,y) = \left(-2xe^{-x^2-y^2}, -2y e^{-x^2-y^2} \right)\]

b) \(f(x,y,z) = \frac{1+x+y+z}{1+x^2+y^2+z^2}\)
Wir berechnen zunächst die partiellen Ableitungen:

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{-x^2-2x(y+z+1)+y^2+z^2+1}{(x^2+y^2+z^2+1)^2}\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{1+x^2-y^2+z^2 - 2y(1+x+z)}{(1 + x^2+y^2+z^2)^2} \\ \frac{\partial f}{\partial z} &= \frac{1+x^2+y^2-z^2 - 2z(1+x+y)}{(1 + x^2+y^2+z^2)^2}\\ \end{align*}\]

Damit ist der Gradient von f:

\[\begin{multline*}\nabla f(x,y,z) = \Big( \frac{-x^2-2x(y+z+1)+y^2+z^2+1}{(x^2+y^2+z^2+1)^2}, ...\\ \frac{1+x^2-y^2+z^2 - 2y(1+x+z)}{(1 + x^2+y^2+z^2)^2}, \frac{1+x^2+y^2-z^2 - 2z(1+x+y)}{(1 + x^2+y^2+z^2)^2}\Big) \end{multline*}\]

c) \(f(x_1,x_2) = x_1^4 -5x_2^2 - 10x_1x_2\)
Wir berechnen zunächst die partiellen Ableitungen:

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x_1} &= 4x_1^3-10x_2 \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} &= -10(x_1+x_2) \end{align*}\]

Damit ist der Gradient von f:

\[\nabla f(x_1,x_2) = \left( 4x_1^3-10x_2, -10(x_1+x_2) \right)\]

d) \(f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 -4x_1x_2 + x_2^3\cdot \sin(x_3)\)
Wir berechnen zunächst die partiellen Ableitungen:

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &= 4(x_1-x_2) \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= 3x_2^2\sin(x_3)-4x_1 \\ \frac{\partial f}{\partial z} &= x_2^3\cos(x_3) \\ \end{align*}\]

Damit ist der Gradient von f:

\[\nabla f(x_1,x_2,x_3) = \left(4(x_1-x_2), 3x_2^2\sin(x_3)-4x_1, x_2^3\cos(x_3)\right)\]

Übung 8.2

Berechnen Sie die Jacobi-Matrix \(J(f)\) zu folgenden Funktionen.

a)

\[\begin{split}f(x,y) = \begin{pmatrix} x^2 + y^2 \\ x^2 - y^2 \end{pmatrix}\end{split}\]

b)

\[\begin{split}f(x,y) = \begin{pmatrix} 3x^3y^2 \\ \sin(x) \end{pmatrix}\end{split}\]

Lösung

a)

\[\begin{split}J(f) = \begin{pmatrix} 2x & 2y \\ 2x & -2y \end{pmatrix}\end{split}\]

b)

\[\begin{split}J(f) = \begin{pmatrix}9x^2y^2 & 6x^3y \\ \cos(x) & 0 \end{pmatrix}\end{split}\]

Lösungsweg

a)

\[\begin{split}f(x,y) = \begin{pmatrix} x^2 + y^2 \\ x^2 - y^2 \end{pmatrix}\end{split}\]

\[\begin{align*} \frac{\partial f_1}{\partial x} &= 2x\\ \frac{\partial f_1}{\partial y} &= 2y\\ \frac{\partial f_2}{\partial x} &= 2x\\ \frac{\partial f_2}{\partial y} &= -2y \end{align*}\]

Damit lautet die Jacobi-Matrix

\[\begin{split}J(f) = \begin{pmatrix} 2x & 2y \\ 2x & -2y \end{pmatrix}\end{split}\]

b)

\[\begin{split}f(x,y) = \begin{pmatrix} 3x^3y^2 \\ \sin(x) \end{pmatrix}\end{split}\]

\[\begin{align*} \frac{\partial f_1}{\partial x} &= 9x^2y^2\\ \frac{\partial f_1}{\partial y} &= 6x^3y\\ \frac{\partial f_2}{\partial x} &= \cos(x)\\ \frac{\partial f_2}{\partial y} &= 0 \end{align*}\]

Damit lautet die Jacobi-Matrix

\[\begin{split}J(f) = \begin{pmatrix}9x^2y^2 & 6x^3y \\ \cos(x) & 0 \end{pmatrix}\end{split}\]

Übung 8.3

Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix der verketteten Funktion \(h = f \circ g\) mit der mehrdimensionalen Kettenregel:

a) \(h:\mathbb{R}^2\mapsto\mathbb{R}\) mit \(h(x,y) = f(g(x,y))\), wobei

\[\begin{align*} f:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}, \quad & f(x,y,z) = x^2 y^2 z^2,\\ g:\mathbb{R}^2\mapsto\mathbb{R}^3, \quad & g(x,y) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ x y \end{pmatrix} \end{align*}\]

b) \(h:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3\) mit \(h(x,y,z)=f(g(x,y,z))\), wobei

\[\begin{align*} f:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3, \quad & f(x,y,z) = \begin{pmatrix} -y \\ -z \\ -x \end{pmatrix}\\ g:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3, \quad & g(x,y,z) = \begin{pmatrix} x y \\ y z \\ z x \end{pmatrix} \end{align*}\]

Lösung

a)

\[J(h)(x,y) = \left(2x^3 y^4 + 2x^3y^4, \; 2x^4 y^3 + 2x^4 y^3\right) = \left(4x^3 y^4, \; 4x^4 y^3 \right)\]

b)

\[\begin{split}J(h)(x,y,z) = \begin{pmatrix} 0 & -z & -y\\ -z & 0 & -x \\ -y & -x & 0 \end{pmatrix}\end{split}\]

Lösungsweg

a) \(h:\mathbb{R}^2\mapsto\mathbb{R}\) mit \(h(x,y) = f(g(x,y))\), wobei

\[\begin{align*} f:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}, \quad & f(x,y,z) = x^2 y^2 z^2,\\ g:\mathbb{R}^2\mapsto\mathbb{R}^3, \quad & g(x,y) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ x y \end{pmatrix} \end{align*}\]

Wir berechnen zuerst die Jacobi-Matrix von \(f\) und \(g\):

\[\begin{split}J(f) = \left(2x y^2 z^2,\; 2x^2 y z^2,\; 2x^2 y^2 z\right) \quad \text{ und } \quad J(g) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ y & x\end{pmatrix}\end{split}\]

Mit der mehrdimensionalen Kettenregel erhalten wir

\[\begin{multline*} J(h) = J(f) \cdot J(g) = \left(2x y^2 z^2, \; 2x^2 y z^2,\; 2x^2 y^2 z\right) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ y & x\end{pmatrix} = \\ \left(2x y^2 z^2 + 2x^2 y^3 z, \; 2x^2 y z^2 + 2x^3 y^2 z \right) \end{multline*}\]

Als nächstes ersetzen wir noch \(z\) durch \(x y\) (siehe Definition von \(h\)) und erhalten

\[J(h)(x,y) = \left(2x^3 y^4 + 2x^3 y^4, \; 2x^4 y^3 + 2x^4 y^3\right) = \left(4x^3 y^4, \; 4x^4 y^3 \right).\]

b) \(h:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3\) mit \(h(x,y,z)=f(g(x,y,z))\), wobei

\[\begin{align*} f:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3, \quad & f(x,y,z) = \begin{pmatrix} -y \\ -z \\ -x \end{pmatrix}\\ g:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3, \quad & g(x,y,z) = \begin{pmatrix} x y \\ y z \\ z x \end{pmatrix} \end{align*}\]

Wir berechnen zuerst die Jacobi-Matrix von \(f\) und \(g\):

\[\begin{split}J(f) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{ und } \quad J(g) = \begin{pmatrix} y & x & 0 \\ 0 & z & y \\ z & 0 & x \end{pmatrix}\end{split}\]

Mit der mehrdimensionalen Kettenregel erhalten wir

\[\begin{split}J(h)(x,y,z) = J(f)\cdot J(g) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y & x & 0 \\ 0 & z & y \\ z & 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -z & -y \\ -z & 0 & -x \\ -y & -x & 0 \end{pmatrix}\end{split}\]