Übungen

Übung 3.1

Berechnen Sie den Mittelwert der Funktion \(f(x)=\frac{1}{2}x^2 +1\) im Intervall \([0,2]\).

Lösung

\[m = \frac{1}{2-0}\int_{0}^{2}\frac{1}{2}x^2 +1 \, dx = \frac{5}{3} \approx 1.6666\]

Lösungsweg

Übung 3.2

Berechnen Sie den Mittelwert \(\bar{f}\) der Funktion \(f(x)=mx+n\) auf einem beliebigen Intervall \([a,b]\). Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Lösung

\[\bar{f} = \frac{1}{2}\left(f(a)+f(b)\right) \]

Der Mittelwert der der linearen Funktion \(f(x)=mx+n\) ist gerade das arithmetische Mittel der beiden Funktionswerte \(f(a)\) und \(f(b)\) an den Intervallgrenzen.

Lösungsweg

Der Mittelwert einer Funktion \(f\) im Intervall \([a,b]\) wird folgendermaßen berechnet:

\[\bar{f}(x) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, dx.\]

Wir setzen die lineare Funktion \(f(x)=mx+n\) in die Formel ein und erhalten:

\[\begin{align*} \bar{f}(x) &= \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} mx+n \, dx = \\ &= \frac{1}{b-a} \left[\frac{1}{2}mx^2 + nx \right]_{a}^{b} = \\ &= \frac{1}{b-a} \left( (\frac{1}{2}mb^2 + nb) - (\frac{1}{2}ma^2 + na) \right) = \\ &= \frac{1}{b-a} \left( \frac{1}{2}\, m\, (b^2 - a^2) + n \, (b - a) \right) = \\ &= \frac{1}{2} m (b+a) + n = \\ &= \frac{1}{2} m b + \frac{1}{2} m a + \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}n = \\ &= \frac{1}{2} (mb+n) + \frac{1}{2} (ma+n) = \\ &= \frac{1}{2} f(b) + \frac{1}{2} f(b). \end{align*}\]

Der Mittelwert der linearen Funktion \(f(x) = mx+n\) ist gleich dem arithmetischen Mittel der beiden Funktionswerte \(f(a)\) und \(f(b)\).

Übung 3.3

Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\), der zwischen dem Graphen der Funktion

\[f(x)=x^2-x\]

und der x-Achse eingeschlossen ist. Fertigen Sie zuerst eine Skizze an.

Lösung

\[A = \frac{1}{6}\]

Lösungsweg

Übung 3.4

Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\), der zwischen dem Graphen der Funktion

\[f(x)=x(x-1)(x-3)\]

und der x-Achse eingeschlossen ist. Fertigen Sie zuerst eine Skizze an.

Lösung

\[A = \frac{37}{12}\]

Lösungsweg

Skizze des Funktionsgraphens:

• Nullstellen berechnen: \(f(x) = x(x-1)(x-3) = 0\) lösen

• Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\)

• Erster Flächeninhalt:

\[A_1 = \int_{0}^{1} x^3 - 4x^2 + 3x \, dx = \frac{5}{12}\]

• Zweiter Flächeninhalt (negativ orientiert):

\[A_2 = \int_{1}^{3} x^3 - 4x^2 + 3x \, dx = -\frac{8}{3}\]

• Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + (-1)\cdot A_2 = \frac{37}{12}\)

Übung 3.5

Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\), der zwischen den beiden Graphen der Funktionen

\[f(x)=-\frac{1}{4}x^2+16 \quad \text{ und } \quad g(x)=-3x\]

eingeschlossen ist. Fertigen Sie zuerst eine Skizze an.

Lösung

\[A = \frac{1000}{3}=333.33\]

Lösungsweg

Skizze der beiden Funktionsgraphen:

• Schnittpunkte berechnen: \(f(x) = g(x)\) lösen

• Schnittpunkte: \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 16\)

• Flächeninhalt:

\[A = \int_{-4}^{16} \left(\frac{1}{4}x^2 + 16\right) - \left(-3x \right) \, dx = \frac{1000}{3}\]

Übung 3.6

Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\), der zwischen den beiden Graphen der Funktionen

\[f(x)=-x^2+2x+\frac{1}{2} \quad \text{ und } \quad g(x)=x+2\]

und den parallelen Geraden \(x=-2\) und \(x=\frac{5}{2}\) eingeschlossen ist. Fertigen Sie zuerst eine Skizze an.

Lösung

\[A = \frac{27}{2}= 13.5\]

Lösungsweg

Skizze der beiden Funktionsgraphen:

• \(g\) ist oberhalb von \(f\)

• Flächeninhalt:

\[A = \int_{-2}^{5/2} \left( x+2 \right) - \left(-x^2+2x+\frac{1}{2} \right) \, dx = \frac{27}{2}\]

Übung 3.7

Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\), der zwischen den beiden Graphen der Funktionen

\[f(x)=-3x^2+x-1 \quad \text{ und } \quad g(x)=4\cdot (x-\frac{1}{4})^2-\frac{5}{4}\]

eingeschlossen ist. Fertigen Sie zuerst eine Skizze an.

Lösung

\[A = \frac{9}{98}\approx 0.091837\]

Lösungsweg

Skizze der beiden Funktionsgraphen:

• Schnittpunkte berechnen: \(f(x) = g(x)\) lösen

• Schnittpunkte: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{3}{7}\)

• Flächeninhalt:

\[A = \int_{0}^{3/7} \left(-3x^2+x-1\right) - \left(4\cdot (x-\frac{1}{4})^2-\frac{5}{4} \right) \, dx = \frac{9}{98}\]

Übung 3.8

Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\), der zwischen den beiden Graphen der Funktionen

\[f(x)=2\sin(x) \quad \text{ und } \quad g(x)=-\frac{4\sqrt{2}}{3\pi}x + \frac{4\sqrt{2}}{3}\]

eingeschlossen ist. Fertigen Sie zuerst eine Skizze an. Benutzen Sie einen Taschenrechner.

Lösung

\[A = 4+2\sqrt{2} - \frac{3\pi}{2\sqrt{2}}\approx 3.49626\]

Lösungsweg

Skizze der beiden Funktionsgraphen:

• Schnittpunkte berechnen: \(f(x) = g(x)\) lösen

• Schnittpunkte: \(x_1 = \frac{\pi}{4}\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = \frac{7\pi}{4}\)

• Erster Flächeninhalt:

\[A_1 = \int_{\pi/4}^{\pi} \left( 2\sin(x)\right) - \left(-\frac{4\sqrt{2}}{3\pi}x + \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \, dx = -\frac{3}{4\sqrt{2}}\pi + 2 + \sqrt{2}\]

• Zweiter Flächeninhalt:

\[A_2 = \int_{\pi}^{\frac{7\pi}{4}} \left(-\frac{4\sqrt{2}}{3\pi}x + \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) - \left(2\sin(x) \right) \, dx = -\frac{3}{4\sqrt{2}}\pi + 2 + \sqrt{2}\]

• Gesamter Flächeninhalt:

\[A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4}\left(-3\sqrt{2}\pi + 16 + 8\sqrt{2} \right) \approx 3.49626\]

Übung 3.9

Berechnen Sie die Bogenlänge \(L\) der Funktion \(f(x)=x\) im Intervall \([0,1]\).

Lösung

\[L = \sqrt{2} \approx 1.4142\]

Lösungsweg

• Ableitung: \(f'(x)=1\)

• Bogenlänge:

\[L = \int_{0}^{1} \sqrt{1+(1)^2}\, dx = \int_{0}^{1} \sqrt{2}\, dx = \sqrt{2}\]

Übung 3.10

Berechnen Sie die Bogenlänge \(L\) der Funktion \(f(x)=x^{\frac{3}{2}}\) im Intervall \([0,1]\).

Lösung

\[L \approx 1.4397\]

Lösungsweg

• Ableitung: \(f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}\)

• Bogenlänge:

\[L = \int_{0}^{1} \sqrt{1+(\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})^2}\, dx = \int_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{9}{4} x}\, dx \]

• Substitution: \(z = 1 + \frac{9}{4} x\), d.h. \(dx = \frac{4}{9} dz\)

• Daraus folgt:

\[L = \int_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{9}{4} x}\, dx = \left[\frac{8}{27}\left(\frac{9x}{4}+1\right)^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{27}(13\sqrt{13}-8) \approx 1.4397. \]

Übung 3.11

Berechnen Sie das Volumen \(V\) des Rotationskörpers, das entsteht, wenn die Funktion \(f(x)=-x^2+4\) im Intervall \([-2,2]\) um die x-Achse gedreht wird.

Lösung

\[V = 2\pi\cdot \frac{256}{15}\approx 107.23\]

Lösungsweg

Übung 3.12

Berechnen Sie das Volumen \(V\) des Rotationskörpers, das entsteht, wenn die Funktion \(f(x)=\sin(x)+1\) im Intervall \([0,\frac{3\pi}{2}]\) um die x-Achse gedreht wird.

Lösung

\[V = \pi\left((\frac{3\pi}{2}-0+\frac{3\pi}{4})-(0-2+0)\right)\approx 28.4898\]

Lösungsweg