6.1 Periodische Funktionen

6.1 Periodische Funktionen#

In diesem Kapitel werden wir uns mit periodischen Funktionen beschäftigen. Insbesondere im Maschinenbau finden sich zahlreiche Anwendungen von periodischen Funktionen, z.B. in der Technischen Mechanik oder in der Regelungstechnik. Viele mechanische Systeme, wie z.B. Federsysteme, Pendel oder rotierende Wellen, führen periodische Schwingungen aus. Auch in der Regelungstechnik werden periodische Steuergrößen erzeugt, die zur Regelung von Systemen verwendet werden. Beispiele sind periodische Signale, wie z.B. Rechteck-, Dreieck- oder Sinusfunktionen. Diese Signale werden verwendet, um elektrische, mechanische oder hydraulische Systeme zu steuern.

Lernziele#

Lernziele

  • Sie können erklären, was eine periodische Funktion ist.

  • Sie können Beispiele von periodischen Funktionen nennen wie

    • Sinus- und Kosinusfunktion,

    • Rechteckfunktion,

    • Dreiecksfunktion und

    • Sägezahnfunktion.

Periodische Funktionen - was ist das?#

Bei einer periodischen Funktion wiederholen sich in regelmäßigen Abständen die Funktionswerte wieder. Der Abstand, nachdem sich die Funktionswerte beginnen zu wiederholen, heißt Periodendauer.

Was ist … eine periodische Funktion?

Eine Funktion heißt periodisch, wenn sich die Funktionswerte regelmäßig wiederholen. Als mathematische Formel ausgedrückt ist eine Funktion \(f\) periodisch mit der Periode \(p\), wenn gilt:

\[f(x+p) = f(x).\]
Video “Periodische Funktion” von lernflix

Beispiele periodischer Funktionen#

Sinus- und Kosinusfunktion#

Sinus und Kosinus sind die beiden wichtigsten periodischen Funktionen. Sie werden auch dazu genutzt, um andere periodische Funktionen zu approximieren (Stichwort: Fourierreihe). Beide haben eine Periode von \(2\pi\).

../_images/plot_sinus.png

Fig. 5 Sinusfunktion mit einer Periode \(p = 2\pi\)#

Wir werden in den nächsten Kapiteln die Sinus- und Kosinusfunktionen modifizieren. Im folgenden Video werden die verschiedenen Möglichkeiten, die Sinusfunktion zu transformieren wiederholt. Für die Kosinusfunktion gelten die gleichen Transformationen analog.

Video “Sinusfunktion Transformation” von Daniel Jung

Rechteckfunktion#

Die Rechteckfunktion ist zunächst einmal keine periodische Funktion. Als erstes werden eine Periode \(T\) und eine Konstante \(c\) festgelegt. Dann wird die Rechteckfunktion definiert als die Funktion, deren Funktionswerte im Intervall \([-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]\) gleich der Konstante \(c\) sind. Und außerhalb dieses Intervalls sollen die Funktionswerte 0 sein (übrigens, manchmal wird auch ein anderer Wert als 0 genommen). Mathematisch wird das folgendermaßen ausgedrückt:

\[\begin{equation*} f(t) = \begin{cases} c & \text{ für } -\frac{T}{2} \leq x \leq \frac{T}{2},\\ 0 & \text{ sonst.} \end{cases} \end{equation*}\]

Der Funktionsgraph der Rechteckfunktion sieht folgendermaßen aus:

../_images/plot_rechteck.png

Fig. 6 Beispiel einer Rechteckfunktion: Periode \(T = 1\) und \(c = 1\)#

Jetzt wird die Periode von \(0\) bis \(T\) gelb markiert.

../_images/plot_rechteck_period.png

Fig. 7 Beispiel einer Rechteckfunktion: das Periodenintervall \([0,T]\) ist gelb markiert#

Als letztes wird der Funktionsgraph periodisch wiederholt. Damit ist gemeint, dass das gelb markierte Gebiet links und rechts immer wieder drangehängt wird. Dadruch entsteht eine neue Funktion, deren Funktionsgraph in der nächsten Abbildung zu sehen ist.

../_images/plot_rechteck_periodisch.png

Fig. 8 Beispiel einer Rechteckfunktion, die periodisch fortgesetzt wurde#

Diese neue Funktion ist nun eine periodische Funktion. Sie wird häufig in der Signalverarbeitung verwendet. Beispielsweise dient sie als Taktsignal für digitale Prozessoren und Controller.

Dreiecksfunktion#

Die Dreiecksfunktion ist eine periodische Funktion, die ebenfalls in der Signalverarbeitung häufig vorkommt. Sie hat eine Periode \(T\) und oszilliert zwischen zwei Werten \(c_1\) und \(c_2\), wobei der Anstieg von \(c_1\) auf \(c_2\) linear ist und der Abfall von \(c_2\) auf \(c_1\) ebenfalls linear ist.

../_images/plot_dreieck.png

Fig. 9 Beispiel einer Dreiecksfunktion, die zwischen \(0\) und \(1\) oszilliert und die Periode \(T = 2\) hat#

Sägezahnfunktion#

Die Sägezahnfunktion ist eine weitere periodische Funktion, die in der Signalverarbeitung häufig verwendet wird. Sie hat eine Periode \(T\) und oszilliert zwischen \(-1\) und \(1\), wobei der Anstieg von \(-1\) auf \(1\) linear ist und der Abfall von \(1\) auf \(-1\) plötzlich stattfindet.

../_images/plot_saegezahn.png

Fig. 10 Beispiel einer Sägezahnfunktion, die zwischen \(-1\) und \(1\) oszilliert und die Periode \(T = 2\) hat#

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