9.2 Berechnung von Doppelintegralen in kartesischen Koordinaten#
Die Grenzwertbildung zur Berechnung eines Integrals ist mühsam. In vielen Fällen kann die Berechnung des Doppelintegrals durch eine Berechnung von zwei einzelnen Integralen ersetzt werden. Dabei kommt es darauf an, welches Koordinatensystem verwendet wird. In diesem Kapitel geht es um die Berechnung des Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten.
Lernziele#
Lernziele
Sie können ein Doppelintegral in kartesischen Koordinaten berechnen, indem Sie zuerst die innere Integration und dann die äußere Integration durchführen:
Doppelintegral in kartesischen Koordinaten berechnen#
Wie wird nun ein Doppelintegral konkret ausgerechnet? Glücklicherweise können wir die Berechnung des Doppelintegrals durch zwei “normale” Integrationen ersetzen. Die Voraussetzung dafür ist, dass wir ein kartesisches Koordinatensystem betrachten.
Zuerst brauchen wir eine Beschreibung der Fläche
Schritt 1: Funktionen für den Rand von
Wir nennen die obere Funktion
Schritt 2: innere Integration (nach y)
Zuerst behandeln wir die Variable
Schritt 3: äußere Integration (nach x)
Die in Schritt 2 entstandene Funktion wird wieder integriert, aber diesmal nach
Video zu “Doppenintegral, kein Rechteck” von Mathematische Methoden
Beispiel: A ist ein Rechteck#
Als erstes Beispiel berechnen wir das Doppelintegral der Funktion
Schritt 1: obere und untere Funktion finden
Das Rechteck wird oben durch die Konstante 2 berandet und unten durch die Konstante 1. Also sind die obere und die untere Funktion
Fig. 20 Draufsicht auf das Integrationsgebiet
Das Doppelintegral lautet also:
Schritt 2: innere Integration (nach y)
Das innere Integral
Schritt 3: äußere Integration (nach x)
Das innere Integral
Damit lautet das Doppelintegral von
In den folgenden beiden Videos finden Sie zwei weitere Beispiele für Doppelintegrale auf einem Rechteckgebiet.
Video zu “Beispiel Doppelintegral” von Mathematische Methoden
Video zu “Beispiel Doppelintegral” von Mathematische Methoden
Video zu “Mehrdimensionale INTEGRATION – Doppelintegral mit Grenzen” von Mathematrick
Beispiel: A ist kein Rechteck#
Als nächstes betrachten wir ein Beispiel, bei dem das Integrationsgebiet kein
Rechteck ist. Die Funktion
Schritt 1: obere und untere Funktion finden
Als erstes wird eine Skizze der beiden Funktionen
ist und die untere Funktion
ist. Allerdings muss noch das Intervall auf der x-Achse gefunden werden. Dazu wird der Lösungsansatz
angesetzt und die entstehende Gleichung
Fig. 21 Draufsicht auf das Integrationsgebiet
Damit kann das Doppelintegral in zwei Integrale umgeschrieben werden:
Schritt 2: innere Integration (nach y)
Das innere Integral
Schritt 3: äußere Integration (nach x)
Das innere Integral
Damit gilt insgesamt
Das folgende Video zeigt ein weiteres Beispiel.