Übungen
Übung 7.1
Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen nach den Variablen.
a) \(f(x,y)=e^{x}\cdot e^{y}\)
b) \(f(x,y)=e^{xy}\)
c) \(f(x,y)=\sin(x)\cos(y)\)
d) \(f(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2}}\)
Lösung
a) \(f(x,y)=e^{x}\cdot e^{y}\)
\[\frac{\partial f}{\partial x}=e^x\cdot e^y \quad \text{ und } \quad \frac{\partial f}{\partial y}=e^x\cdot e^y\]
b) \(f(x,y)=e^{xy}\)
\[\frac{\partial f}{\partial x}=ye^{xy} \quad \text{ und } \quad \frac{\partial f}{\partial y}=xe^{xy}\]
c) \(f(x,y)=\sin(x)\cos(y)\)
\[\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x)\cos(y) \quad \text{ und } \quad \frac{\partial f}{\partial y}=\sin(x)\left(-\sin(y)\right)\]
d) \(f(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2}}\)
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x_1}&=-\frac{1}{(2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2})^2}\cdot 4x_1 \\
\frac{\partial f}{\partial x_2}&=-\frac{1}{(2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2})^2}\cdot \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+x_3^2}}\\
\frac{\partial f}{\partial x_3}&=-\frac{1}{(2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2})^2}\cdot \frac{x_3}{\sqrt{x_2^2+x_3^2}}
\end{align*}\]
Übung 7.2
Berechnen Sie die zweiten partiellen Ableitungen nach den Variablen. Verifizieren Sie, dass das Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Differentiationsschritte ist.
a) \(f(x,y)=x^3+y^3 + x^2y^2+xy+1\)
b) \(f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Lösung
a) \(f(x,y)=x^3+y^3 + x^2y^2+xy+1\)
1. partielle Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 3x^2+2xy^2+y \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 3y^2+2x^2y+x
\end{align*}\]
2. partielle Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x} &= 6x + 2y^2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 4xy + 1 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial y} &= 6y + 2x^2
\end{align*}\]
b) \(f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
1. partielle Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} &= -\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3} \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= -\frac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3} \\
\frac{\partial f}{\partial z} &= -\frac{z}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3} \\
\end{align*}\]
2. partielle Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x} &= -\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3}+3\frac{x^2}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^5}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial y} &= -\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3}+3\frac{y^2}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^5}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial z} &= -\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3}+3\frac{z^2}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^5}
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} &= \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{3xy}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^5}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} &= \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} = \frac{3xz}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^5}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} &= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{3yz}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^5}
\end{align*}\]
Übung 7.3
Berechnen Sie die dritten partiellen Ableitungen. Nutzen Sie aus, dass das Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Differentiationsschritte ist:
\[f(x,y,z)=x^2y^2z^2+x^3+y^3+z^3.\]
Hinweis: wie viele partielle Ableitungen 3. Ordnung gibt es bei drei Variablen? Wie viele muss man explizit ausrechnen?
Lösung
Es gibt insgesamt 27 Ableitungen 3. Ordnung, aber es genügen 10 explizite Ableitungen: xxx, yxx, zxx, yyy, xyy, zyy, zzz, xzz, yzz, xyz.
1. partielle Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 2xy^2z^2 + 3x^2 \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 2x^2yz^2 + 3y^2 \\
\frac{\partial f}{\partial z} &= 2x^2y^2z + 3z^2 \\
\end{align*}\]
Zwischenrechnung 2. partielle Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x} &= 2y^2z^2 + 6x \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial y} &= 2x^2z^2 + 6y \\
\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial z} &= 2x^2y^2 + 6z \\
\end{align*}\]
3. partielle Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3f}{\partial x \partial x \partial x} &= 6 \\
\frac{\partial^3f}{\partial y \partial x \partial x} &= 4yz^2 \\
\frac{\partial^3f}{\partial z \partial x \partial x} &= 4y^2z
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3f}{\partial y \partial y \partial y} &= 6 \\
\frac{\partial^3f}{\partial x \partial y \partial y} &= 4xz^2 \\
\frac{\partial^3f}{\partial z \partial y \partial y} &= 4x^2z
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3f}{\partial z \partial z \partial z} &= 6 \\
\frac{\partial^3f}{\partial x \partial z \partial z} &= 4xy^2 \\
\frac{\partial^3f}{\partial y \partial z \partial z} &= 4x^2y
\end{align*}\]
\[\begin{equation*}
\frac{\partial^3f}{\partial z \partial y \partial x} = 8xyz
\end{equation*}\]