12.3 Lösung inhomogene lineare DGL 1. Ordnung

Homogene lineare Differentialgleichungen beschreiben natürliche Prozesse ohne äußere Einflüsse. In der Praxis wirken jedoch oft externe Kräfte: eine von außen angelegte Spannung, eine Wärmequelle oder eine mechanische Anregung. Diese äußeren Einwirkungen führen zu inhomogenen linearen Differentialgleichungen, deren Lösung wir mit der Methode der Variation der Konstanten bestimmen können.

Lernziele

Lernziele

• Sie können eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung lösen.

• Sie können das Lösungsverfahren Variation der Konstanten anwenden, um die Lösung einer linearen Differentialgleichung zu bestimmen.

Wie wird eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung gelöst?

Betrachten wir eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung:

\[a_1(x)y' + a_0(x) y = r(x).\]

Die Grundidee des Lösungsverfahren ist, zuerst die dazugehörige homogene Differentialgleichung zu lösen.

Schritt 1: homogene Lösung bestimmen

Zunächst lösen wir die zugehörige homogene Gleichung (Störfunktion weggelassen):

\[a_1(x)y' + a_0(x) y = 0.\]

Die homogene Lösung kennen wir bereits aus Kapitel 12.2:

\[y_h(x)=C \cdot e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)}\, dx}.\]

Um auch kenntlich zu machen, dass diese die Lösung der homogenen Differentialgleichung ist, wird diese Lösung mit einem kleinen “h” markiert. Wie üblich enthält die homogene Lösung eine Integrationskonstante \(C\in\mathbb{R}\).

Schritt 2: Variation der Konstanten

Um eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden, verwenden wir einen cleveren Ansatz: Wir variieren die Konstante \(C\), indem wir sie durch eine unbekannte Funktion \(C(x)\) ersetzen. Der Lösungsansatz für die inhomogene Gleichung lautet daher:

\[y(x)=C(x) \cdot e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)}\, dx}.\]

Warum funktioniert das? Die homogene Lösung erfüllt bereits den “homogenen Teil” der Differentialgleichung. Durch die Variation von \(C\) zu \(C(x)\) erhält die Lösung die nötige Flexibilität, um auch die Störfunktion \(r(x)\) zu “kompensieren”.

Schritt 3: Bestimmung von \(C(x)\)

Um die noch fehlende Funktion \(C(x)\) zu bestimmen, leiten wir den Lösungsansatz ab und setzen das Ergebnis in die ursprüngliche Differentialgleichung ein. Dadurch entsteht eine neue Differentialgleichung für die unbekannte Funktion \(C(x)\), die wir durch Integration lösen können.

Beispiel zur Lösung einer inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung

Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

\[y'+3y=x^2.\]

Schritt 1: Die homogene Lösung ist

\[y_h(x)=C\cdot e^{-3x}.\]

Schritt 2: Wir ersetzen die Konstante \(C\) durch die Funktion \(C(x)\) und erhalten den Ansatz:

\[y(x)=C(x)\cdot e^{-3x}.\]

Schritt 3: Als nächstes wird dieser Lösungsansatz mit der Prodduktregel abgeleitet

\[y'(x)=C'(x)e^{-3x} + C(x)\cdot (-3) e^{-3x}\]

und in die ursprüngliche Differentialgleichung eingesetzt:

\[C'(x) \, e^{-3x} -3 C(x) \, e^{-3x} + 3C(x)\cdot e^{-3x} = x^2.\]

Wir vereinfachen zuerst die Gleichung

\[C'(x)\, e^{-3x} - 3 C(x) \, e^{-3x} + 3C(x)\cdot e^{-3x} = x^2\]

zu

\[ C'(x)\, e^{-3x} = x^2 \quad \Rightarrow \quad C'(x)=x^2\cdot e^{3x}.\]

Danach integrieren wir auf beiden Seiten unbestimmt nach \(x\), indem wir zweimal die partielle Integrationsregel anwenden:

\[\begin{multline*} C(x)= \left[x^2\cdot\frac{1}{3}e^{3x}\right] -\int 2x \frac{1}{3}e^{3x}\, dx = \\ = \left[x^2\cdot\frac{1}{3}e^{3x}\right] - \left[2x\cdot\frac{1}{9}e^{3x}\right] + \int 2\cdot \frac{1}{3}e^{3x} \, dx = \\ = \frac{1}{27}e^{3x}(9x^2 - 6x + 2) + C_1 \end{multline*}\]

Nachdem wir nun die Funktion \(C(x)\) bestimmt haben, setzen wir diese Funktion in den Lösungsansatz ein und haben damit die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmt:

\[y(x)= C_1e^{-3x} + \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}x + \frac{2}{27}.\]

Wir prüfen unsere Lösung durch Einsetzen in die ursprüngliche Differentialgleichung:

• \(y'(x) = -3C_1e^{-3x} + \frac{2}{3}x - \frac{2}{9}\)

• \(y'(x) + 3y(x) = -3C_1e^{-3x} + \frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + 3C_1e^{-3x} + 3 \cdot \frac{1}{3}x^2 - 3 \cdot \frac{2}{9}x + 3 \cdot \frac{2}{27} = x^2\)

Wie wird eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung gelöst?

Die inhomogene lineare DGL

\[a_1(x)y' + a_0(x)y = r(x)\]

lösen wir mit den folgenden Schritten:

1. Homogene Lösung bestimmen: \(y_h(x) = C \cdot e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, dx}\)

2. Ansatz mit Variation der Konstanten: \(y(x) = C(x) \cdot e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, dx}\)

3. Bestimmung von C(x) durch Ableiten, Einsetzen in die ursprüngliche DGL und Integration

Video zu “Differentialgleichung inhomogen lösen” von Mathematrick

Video zu “Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung – Variation der Konstanten” von Sciencebarbie

Zusammenfassung und Ausblick

In diesem Kapitel haben wir die Methode der Variation der Konstanten kennengelernt, mit der sich inhomogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung systematisch lösen lassen. Weil lineare Differentialgiechungen in der Technik häufig eingesetzt werden, betrachten wir im nächsten Kapitel ein System aus linearen Differentialgleichungen.