12.3 Separable Differentialgleichungen

12.3 Separable Differentialgleichungen#

Eine besondere Klasse von Differentialgleichungen sind die separablen Differentialgleichungen. Dieses Kapitel bietet eine Einführung in die separablen Differentialgleichungen und zeigt, wie man sie löst.

Lernziele#

Lernziele

Sie wissen, was eine separable Differentialgleichung ist.
Sie können das Lösungsverfahren Trennung der Variablen anwenden, um eine separable Differentialgleichung zu lösen.

Was sind separable Differentialgleichungen?#

Damit eine Differentialgleichung separabel ist, müssen zwei Bedigungen erfüllt sein.

Die Differentialgleichung muss von 1. Ordnung sein.
Die rechte Seite (vorausgesetzt die 1. Ableitung der gesuchten Funktion steht links) lässt sich als ein Produkt von zwei Funktionen so umformen, dass eine Funktion nur von der Variablen \(x\) abhängt und die andere Funktion nur von Terme mit \(y\) enthält, also

\[y' = f(x)\cdot g(y).\]

Beispiel für eine separable Differentialgleichung#

Die Differentialgleichung

\[y'= 5\, y \, x\]

ist eine separable Differentialgleichung. Sie ist von 1. Ordnung. Außerdem kann die rechte Seite in ein Produkt umgeschrieben werden, bei dem ein Faktor eine Funktion von \(x\) ist, nämlich \(f(x) = 5x\), und der andere Faktor nur von \(y\) selbst abhängt, nämlich \(g(y)=y\), also

\[y' = 5x \cdot y.\]

Wie werden separable Differentialgleichungen gelöst?#

Eine separable Differentialgleichung

\[y' = f(x)\cdot g(y)\]

lässt sich schrittweise wie folgt lösen:

Ersetzen Sie \(y'\) durch den Differentialquotienen \(\frac{dy}{dx}\).
Trennen Sie die Variablen, d.h. bringen Sie alle Terme mit \(y\) nach links und alle Terme mit \(x\) auf die rechte Seite der Gleichung.
Integrieren Sie auf beiden Seiten unbestimmt, d.h. suchen Sie die Stammfunktion.
Lösen Sie nach \(y\) auf, falls das möglich ist.

Beispiel für die Lösung einer separablen Differentialgleichung#

Wir betrachten erneut die separable Differentialgleichung

\[y' = 5x \cdot y.\]

Schritt 1: Zuerst ersetzen wir die 1. Ableitung durch den Differentialoperator

\[\frac{dy}{dx} = 5x \cdot y.\]

Schritt 2: Als nächstes trennen wir die Variablen:

\[\frac{1}{y} \, dy = 5x \, dx.\]

Schritt 3: Dann integrieren wir die linke Seite nach \(dy\) und die rechte Seite nach \(dx\):

\[ \int \frac{1}{y} \, dy = \int 5x \, dx \quad \Rightarrow \ln |y| + C_1 = \frac{5}{2} x^2 + C_2 \]

Schritt 4: Wir lösen nach \(y\) auf. Zuerst sortieren wir die Integrationskonstante \(C_1\) nach rechts und nennen die dadurch entstandene Differen \(C_2 - C_1\) einfach nur \(\tilde{C}\)

\[\Rightarrow \ln |y| = \frac{5}{2} x^2 + \tilde{C}.\]

Nun verwenden wir den Trick, die linke und rechte Seite als Exponenten für die Exponentialfunktion zu nutzen:

\[\Rightarrow e^{\ln(|y|)} = e^{\frac{5}{2} x^2 + \tilde{C}}.\]

Da die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion ist, gilt nämlich \(e^{\ln(|y|)} = y\) und wir sind durch diesen Trick den Logarithmus losgeworden:

\[\Rightarrow |y(x)| = e^{\frac{5}{2} x^2 + \tilde{C}}.\]

Um eine spezielle Lösung zu erhalten, muss aufgrund von Zusatzinformationen die Integrationskonstante \(\tilde{C}\) bestimmt werden. Etwas leichter kann die Konstante bestimmt werden, wenn sie nicht im Exponent steht. Wir schreiben daher die allgemeine Lösung noch etwas um:

\[|y(x)| = e^{\frac{5}{2} x^2 + \tilde{C}} = e^{\frac{5}{2} x^2} \cdot e^{\tilde{C}}.\]

Die rechte Seite ist positiv. Wenn wir die Betragsstriche weglassen, erhalten wir die beiden Lösungen

\[\begin{align*} y_1(x) &= +e^{\tilde{C}} \cdot e^{\frac{5}{2} x^2}, \\ y_2(x) &= -e^{\tilde{C}} \cdot e^{\frac{5}{2} x^2}. \end{align*}\]

Gleichzeitig ist auch \(y_3(x)=0\) eine Lösung der Differentialgleichung. Daher müssten wir eigentlich drei Lösungen der Differentialgleichung notieren. Wenn wir aber eine neue Konstante \(C \in \mathbb{R}\) einführen, die sozusagen \(+e^{\tilde{C}}\) und \(-e^{\tilde{C}}\) sowie die Null ersetzt, dann können wir auch vereinfacht als allgemeine Lösung der Differentialgleichung \(y' = 5x \cdot y\) die Lösung

\[y(x) = C e^{\frac{5}{2}x^2} \quad \text{ mit } C\in\mathbb{R}\]

notieren.