Übungen#
Die folgenden Übungsaufgaben wurden teilweise mit dem Aufgabengenerator MATEX Generator 07 DGL “Lineare nichthomogene DGL mit konstanten Koeffizienten erzeugt. Dort können Sie sich auch selbst weitere Aufgaben mit Lösung erzeugen. Wählen Sie dazu Stufe 1b.
Übung 12.1
Lösen Sie das Anfangswertproblem
für
Lösung
Allgemeine Lösung:
Spezielle Lösung für
Lösungsweg
Die DGL ist eine lineare DGL mit
Für die spezielle Lösung soll
gelten. Die Gleichung wird nach
Hinweis: Direkt integrieren hätte auch funktioniert.
Übung 12.2
Lösen Sie das Anfangswertproblem
für
Lösung
Allgemeine Lösung:
Spezielle Lösung für
Lösungsweg
Die DGL ist eine lineare inhomogene DGL mit
Das ist die Differentialgleichung aus Aufgabe 12.1 und die allgemeine homogene Lösung lautet
Wir variieren die Konstante und nehmen den Lösungsansatz
Die erste Ableitung ist
Jetzt werden die Lösungsansatzfunktion
Werden die Terme vereinfacht, so wird diese Gleichung zu
Wir integrieren partiell nach
Somit lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
Für die spezielle Lösung soll
gelten. Die Gleichung wird nach
Übung 12.3
Lösen Sie das Anfangswertproblem
für
Lösung
Allgemeine Lösung:
Spezielle Lösung zum Anfangswert
Lösungsweg
Die DGL ist eine lineare inhomogene DGL mit
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet
Wir variieren die Konstante und nehmen den Lösungsansatz
Die erste Ableitung ist
Jetzt werden die Lösungsansatzfunktion
Werden die Terme vereinfacht, so wird diese Gleichung zu
Wir integrieren partiell nach
Somit lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
Für die spezielle Lösung soll
gelten. Die Gleichung wird nach
Übung 12.4
Lösen Sie das Anfangswertproblem
für
Lösung
Allgemeine Lösung
Spezielle Lösung für
Lösungsweg
Die DGL ist eine lineare inhomogene DGL mit
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet
Wir variieren die Konstante und nehmen den Lösungsansatz
Die erste Ableitung ist
Jetzt werden die Lösungsansatzfunktion
Werden die Terme vereinfacht, so wird diese Gleichung zu
Wir integrieren partiell nach
Somit lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
Für die spezielle Lösung soll
gelten. Die Gleichung wird nach
Übung 12.5
Lösen Sie das Anfangswertproblem
für
Lösung
Allgemeine Lösung:
Spezielle Lösung für
Lösungsweg
Die DGL ist eine lineare inhomogene DGL mit
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet
Wir variieren die Konstante und nehmen den Lösungsansatz
Die erste Ableitung ist
Jetzt werden die Lösungsansatzfunktion
Werden die Terme vereinfacht, so wird diese Gleichung zu
Wir integrieren partiell nach
Somit lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
Für die spezielle Lösung soll
gelten. Die Gleichung wird nach
Übung 12.6
Lösen Sie das Anfangswertproblem
für
Lösung
Allgemeine Lösung:
Spezielle Lösung für
Lösungsweg
Die DGL ist eine lineare inhomogene DGL mit
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet
Wir variieren die Konstante und nehmen den Lösungsansatz
Die erste Ableitung ist
Jetzt werden die Lösungsansatzfunktion
Werden die Terme vereinfacht, so wird diese Gleichung zu
Wir integrieren partiell nach
Somit lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
Für die spezielle Lösung soll
gelten. Die Gleichung wird nach
Übung 12.7
Lösen Sie das Anfangswertproblem
für
Lösung
Allgemeine Lösung:
Spezielle Lösung für
Lösungsweg
Die DGL ist eine lineare inhomogene DGL mit
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet
Wir variieren die Konstante und nehmen den Lösungsansatz
Die erste Ableitung ist
Jetzt werden die Lösungsansatzfunktion
Werden die Terme vereinfacht, so wird diese Gleichung zu
Wir integrieren nach
Somit lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
Für die spezielle Lösung soll
gelten. Die Gleichung wird nach
Übung 12.8
Lösen Sie das Anfangswertproblem
für
Lösung
Allgemeine Lösung:
Spezielle Lösung für
Lösungsweg
Die DGL ist eine lineare inhomogene DGL mit
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet
Wir variieren die Konstante und nehmen den Lösungsansatz
Die erste Ableitung ist
Jetzt werden die Lösungsansatzfunktion
Werden die Terme vereinfacht, so wird diese Gleichung zu
Wir integrieren nach
Somit lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
Für die spezielle Lösung soll
gelten. Die Gleichung wird nach
Übung 12.9
Berechnen Sie die Lösungen des folgenden homogenen Systems von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung:
Lösung
Lösungsweg
Das System von Differentialgleichungen lautet in Matrix-Vektor-Schreibweise
Das charakteristische Polynom ist
Aus der charakteristischen Gleichung
folgen die Eigenwerte
Deren erste Ableitung ist
Beides wird in die erste Differentialgleichung
Übung 12.10
Berechnen Sie die Lösungen des folgenden homogenen Systems von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung:
Lösung
Lösungsweg
Das System von Differentialgleichungen lautet in Matrix-Vektor-Schreibweise
Das charakteristische Polynom ist
Aus der charakteristischen Gleichung
folgen die Eigenwerte
Deren erste Ableitung ist
Beides wird in die erste Differentialgleichung