Übungen

Übung 12.1

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblems

\[y \, y'- e^{5x} = 0, \qquad \text{für} \quad y(0)=1.\]

Lösung

Allgemeine Lösung:

\[y(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{5}e^{5x}+2c}\]

Spezielle Lösung des Anfangwertproblems:

\[y(x) = \sqrt{\frac{2}{5}e^{5x}+\frac{3}{5}}\]

Lösungsweg

Trennung der Variablen:

\[y\frac{dy}{dx} = e^{5x} \quad \Rightarrow y \, dy = e^{5x} \, dx\]

Unbestimmte Integration der beiden Seiten:

\[\int y \, dy = \int e^{5x} \, dx \quad \Rightarrow \frac{1}{2}y^2 + c_1 = \frac{1}{5}e^{5x} + c_2\]

Setze \(c=c_2-c_1\) und löse nach \(y\) auf:

\[y(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{5}e^{5x}+2c}.\]

Für den Anfangswert \(y(0)=1\) lösen wir die Gleichung

\[1 = \pm \sqrt{\frac{2}{5}e^{0}+2c}\]

nach \(c\) auf und erhalten \(c=3/10\). Damit ist die spezielle Lösung für \(y(0)=1\)

\[y(x) = \sqrt{\frac{2}{5}e^{5x}+\frac{3}{5}}.\]

Übung 12.2

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblems

\[y'- 6yx^2 = 0, \quad \text{für} \quad y(0)=5.\]

Lösung

Allgemeine Lösung:

\[y(x) = c e^{2x^3}\]

Spezielle Lösung für \(y(0)=5\):

\[y(x) = 5 e^{2x^3}.\]

Lösungsweg

Trennung der Variablen:

\[\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 6 x^2 \quad \Rightarrow \frac{1}{y} \, dy = 6 x^2 \, dx\]

Unbestimmte Integration der beiden Seiten:

\[\int \frac{1}{y} \, dy = \int 6x^2 \, dx \quad \Rightarrow \ln |y| + c_1 = 2x^3 + c_2\]

Setze \(\tilde{C}=c_2-c_1\) und löse nach \(y\) auf:

\[|y| = e^{2x^3 + \tilde{c}} \quad \Rightarrow y(x) = C \cdot e^{2x^3}\]

Für den Anfangswert \(y(0)=5\) lösen wir die Gleichung

\[ y(0) = C \cdot e^{0} \overset{!}{=} 5\]

nach \(C\) auf und erhalten \(C = 5\). Damit ist die spezielle Lösung für \(y(0)=5\)

\[y(x) = 5 \cdot e^{2x^3}.\]

Übung 12.3

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblemes

\[\dot{x} = e^{t-x} \quad \text{ für } \quad x(1)=1.\]

Lösung

Allgemeine Lösung:

\[x(t) = \ln(e^t + C)\]

Spezielle Lösung für \(x(1)=1\):

\[x(t) = t\]

Lösungsweg

Trennung der Variablen:

\[\frac{dx}{dt} e^x = e^t \quad \Rightarrow e^x \, dx = e^t \, dt\]

Unbestimmte Integration der beiden Seiten:

\[\int e^x \, dx = \int e^t \, dt \quad \Rightarrow e^x + c_1 = e^t + c_2\]

Setze \(C=c_2-c_1\) und löse nach \(x\) auf:

\[x(t) = \ln(e^t + C)\]

Für den Anfangswert \(x(1)=1\) lösen wir die Gleichung

\[x(1) = \ln(e^1 + C) \overset{!}{=} 1\]

nach \(C\) auf und erhalten \(C = 0\). Damit ist die spezielle Lösung für \(x(1)=1\)

\[x(t) = \ln(e^t) = t.\]

Übung 12.4

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblemes

\[9x\dot{x} - 4t = 0 \quad \text{ für } \quad x(1.5)=-1.\]

Lösung

Allgemeine Lösung:

\[x(t) = \pm \sqrt{\frac{4}{9}t^2 + \frac{2}{9}c}\]

Spezielle Lösung für \(x(1.5)=-1\):

\[x(t) = - \frac{2}{3}t\]

Lösungsweg

Trennung der Variablen:

\[9x\frac{dx}{dt} = 4t \quad \Rightarrow 9x \, dx = 4t \, dt\]

Unbestimmte Integration der beiden Seiten:

\[\int 9x \, dx = \int 4t \, dt \quad \Rightarrow \frac{9}{2}x^2 + c_1 = 2t^2 + c_2\]

Setze \(C = c_2 - c_1\) und löse nach \(x\) auf:

\[x(t) = \pm \sqrt{\frac{4}{9}t^2 + \frac{2}{9}c}\]

Für den Anfangswert \(x(1.5)=-1\) lösen wir die Gleichung

\[x(1.5) = \pm \sqrt{\frac{4}{9}t^2 + \frac{2}{9}c} \overset{!}{=} -1\]

nach \(C\) auf und erhalten \(C=0\). Damit ist die spezielle Lösung \(x(1.5)=-1\)

\[x(t) = - \frac{2}{3}t.\]

Übung 12.5

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblems

\[t\cdot \dot{x} + \dot{x} - x = 1 \quad \text{für} \quad x(3)=3.\]

Lösung

Allgemeine Lösung:

\[x(t) = C\cdot (t+1) - 1\]

Spezielle Lösung für \(x(3)=3\)

\[x(t) = t\]

Lösungsweg

Trennung der Variablen:

\[\frac{1}{x + 1} \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t+1} \quad \Rightarrow \frac{1}{x+1} \, dx = \frac{1}{t+1} \, dt\]

Unbestimmte Integration der beiden Seiten:

\[\int \frac{1}{x+1} \, dx = \int \frac{1}{t+1} \, dt \quad \Rightarrow \ln |x + 1| + c_1 = \ln |t+1| + c_2\]

Setze \(\tilde{C} = c_2 - c_1\) und löse nach \(x\) auf:

\[|x+1| = |t+1| \cdot e^{\tilde{C}} \quad \Rightarrow x(t) = C\cdot (t+1) - 1\]

Dabei wurden die Betragsstriche weggelassen, da die postitive Konstante \(e^{\tilde{C}}\) durch eine reelle Zahl \(C\) ersetzt wurde, die die drei möglichen Lösungen vereinigt.

Für den Anfangswert \(x(3)=3\) lösen wir die Gleichung

\[x(3) = C\cdot (3+1) - 1 \overset{!}{=} 3\]

nach \(C\) auf und erhalten \(C=1\). Damit ist die spezielle Lösung für \(x(3)=3\)

\[x(t) = t.\]

Übung 12.6

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblems

\[x\cdot \dot{x} -\sin(t) = 0 \quad \text{für} \quad x\left(\frac{\pi}{2}\right)=2.\]

Lösung

Allgemeine Lösung:

\[x(t) = \pm \sqrt{-2\cos(t) + 2C}\]

Spezielle Lösung für \(x(\pi/2)=2\)

\[x(t) = \sqrt{-2\cos(t) + 4}\]

Lösungsweg

Trennung der Variablen:

\[x\cdot\frac{dx}{dt} = \sin(t) \quad \Rightarrow x \; dx = \sin(t) \, dt \]

Unbestimmte Integration der beiden Seiten:

\[\int x \; dx = \int \sin(t) \, dt \quad \Rightarrow \frac{1}{2}x^2 + c_1 = -\cos(t) + c_2 \]

Setze \(C=c_2-c_1\) und löse nach \(x\) auf:

\[x(t) = \pm \sqrt{-2\cos(t) + 2C}.\]

Für den Anfangswert \(x(\frac{\pi}{2})=2\) lösen wir die Gleichung

\[x\left(\frac{\pi}{2}\right) =\pm \sqrt{-2\cos(\frac{\pi}{2}) + 2C} \overset{!}{=} 2\]

und erhalten \(C=2\). Damit ist die spezielle Lösung für \(x(\frac{\pi}{2})=2\)

\[x(t) = \sqrt{-2\cos(t) + 4}.\]

Übung 12.7

Lösen Sie die exakte Differentialgleichung

\[y \, y'- e^{5x} = 0.\]

Lösung

Allgemeine Lösung:

\[y(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{5} e^{5x} + C}\]

Lösungsweg

Wir setzen

\[p(x,y) = -e^{5x} \quad \text{ und } \quad q(x,y) = y.\]

Dann testen wir, ob die Exaktheitsbedingung erfüllt ist:

\[\begin{align*} \frac{\partial p}{\partial y} &= 0 \\ \frac{\partial q}{\partial x} &= 0. \end{align*}\]

Das ist der Fall. Als nächstes wird \(p(x,y)=-e^{5x}\) nach \(x\) integriert:

\[F(x,y) = \int -e^{5x} \, dx = -\frac{1}{5} e^{5x} + C(y).\]

Jetzt wird \(F(x,y)\) partiell nach \(y\) abgeleitet und mit \(q(x,y)=y\) gleichgesetzt:

\[\frac{\partial F}{\partial y} = C'(y) \overset{!}{=} y.\]

Aus dieser Gleichung wird \(C(y)\) berechnet:

\[C(y) = \int C'(y) \, dy = \int y \, dy = \frac{1}{2}y^2 + c_1.\]

Zuletzt wird aus \(F(x,y) = \tilde{c}\) nach \(y\) aufgelöst (mit \(C=\tilde{c}-c_1\)):

\[-\frac{1}{5} e^{5x} + \frac{1}{2} y^2 = C \quad \Rightarrow y(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{5} e^{5x} + C}\]

Übung 12.8

Lösen Sie die exakte Differentialgleichung

\[9y \, y' = 4x.\]

Lösung

Allgemeine Lösung

\[y(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{2x^2 + C}\]

Lösungsweg

Wir setzen

\[p(x,y) = -4x \quad \text{ und } \quad q(x,y) = 9y.\]

Dann testen wir, ob die Exaktheitsbedingung erfüllt ist:

\[\begin{align*} \frac{\partial p}{\partial y} &= 0 \\ \frac{\partial q}{\partial x} &= 0. \end{align*}\]

Das ist der Fall. Als nächstes wird \(p(x,y)=-4x\) nach \(x\) integriert:

\[F(x,y) = \int -4x \, dx = -2x^2 + C(y).\]

Jetzt wird \(F(x,y)\) partiell nach \(y\) abgeleitet und mit \(q(x,y)=9y\) gleichgesetzt:

\[\frac{\partial F}{\partial y} = C'(y) \overset{!}{=} 9y.\]

Aus dieser Gleichung wird \(C(y)\) berechnet:

\[C(y) = \int C'(y) \, dy = \int 9y \, dy = \frac{9}{2}y^2 + c_1.\]

Zuletzt wird aus \(F(x,y) = \tilde{c}\) nach \(y\) aufgelöst (mit \(C=\tilde{c}-c_1\)):

\[-2x^2 + \frac{9}{2} y^2 = C \quad \Rightarrow y(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{2x^2 + C}\]