5.4 Rechenregeln Fourierreihen

5.4 Rechenregeln Fourierreihen#

Viele praktische Funktionen haben Symmetrien, die sich bei der Fourierentwicklung ausnutzen lassen. Daher beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit Fourierreihen von geraden und ungeraden Funktionen. Abschließend betrachten wir einige wichtige Rechenregeln für Fourierreihen.

Lernziele#

Lernziele

Sie wissen, dass sich bei geraden oder ungeraden Funktionen die Berechnung der Fourierkoeffizienten vereinfacht.
Sie können die Summe zweier Fourierreihen bilden.
Sie können die Ableitung einer Fourierreihe berechnen.

Gerade und ungerade Funktionen#

Wenn die Funktion \(f\), zu der eine Fourierreihe gesucht ist, bestimmte Symmetrieeigenschaften hat, kann sich dadurch die Berechnung der Fourierkoeffizienten vereinfachen.

Ist die Funktion \(f\) gerade, gilt also \(f(t) = f(-t)\), dann fallen alle Terme mit der Sinusfunktion weg (die ja ungerade ist). Also gilt automatisch \(b_k = 0\). Außerdem ist dann auch das Produkt \(f(t)\cdot \cos(k \omega t)\) eine gerade Funktion, da die Kosinusfunktion ebenfalls gerade ist. Wir brauchen nicht von \(-T/2\) bis \(T/2\) integrieren, sondern können auch nur von \(0\) bis \(T/2\) integrieren und das Ergebnis verdoppeln. Damit erhalten wir für gerade Funktionen \(f\) die folgende Fourierreihe:

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(k \omega t)\]

mit den Fourierkoeffizienten

\[a_k = \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t) \cos(k \omega t) \, dt.\]

Für ungerade Funktionen \(f\), also solche für die \(f(t) = -f(-t)\) gilt, entfallen alle Kosinus-Koeffizienten \(a_k\). Es bleibt eine reine Sinusreihe übrig.

\[f(t) = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(k \omega t)\]

mit

\[b_k = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/2} f(t) \sin(k \omega t) \, dt.\]

Addition#

Wenn zwei Funktionen \(f\) und \(g\) die gleiche Periode \(T\) haben, so hat die Summe der beiden Funktionen ebenfalls wieder die Periode \(T\). Liegen nun für beide Funktionen Fourierreihen vor, können wir die Fourierkoeffizienten addieren, um eine Approximation der Funktion \(f+g\) zu erhalten.

Ableitung#

Wenn eine Funktion \(f\) durch eine Fourierreihe dargestellt werden kann, also

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k \cos(k \omega t) + b_k \sin(k \omega t) \right)\]

gilt, dann ist ihre Ableitung wieder eine Fourierreihe, sofern die ursprüngliche Funktion differenzierbar ist:

\[f'(t) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\alpha_k \cos(k \omega t) + \beta_k \sin(k \omega t) \right).\]

Allerdings fällt der erste Term \(a_0/2\) weg und die neuen Fourierkoeffizienten \(\alpha_k\) und \(\beta_k\) können mit den Formeln

\[\begin{align*} \alpha_k &= b_k \cdot k \cdot \omega \\ \beta_k &= -a_k \cdot k \cdot \omega \end{align*}\]

berechnet werden.

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben wir gelernt, dass sich Fourierreihen bei geraden oder ungeraden Funktionen vereinfachen. Außerdem haben wir gesehen, dass sich Fourierreihen einfach addieren und ableiten lassen. Im nächsten Kapitel verlassen wir das Themengebiet Funktionenreihen (Potenz-, Taylor- und Fourierreihen) und wenden uns der mehrdimensionalen Differentialrechnung zu.