7.2 Vektorwertige Funktionen

Lernziele

Lernziel

• Sie wissen, was eine vektorwertige Funktion bzw. ein Vektorfeld ist.

• Sie können vektorwertige Funktionen komponentenweise darstellen.

Begrifflichkeiten

Bis jetzt haben wir Funktionen betrachtet, deren Funktionswert stets eine reelle Zahl, also ein Skalar ist. Solche Funktionen nennen wir skalarwertig. So wie wir beim Definitionsgebiet von einem eindimensionalen Definitionsgebiet \(x\in \mathbb{R}\) der reellen Zahlen zu Definitionsgebieten mit mehreren unabhängigen Variablen, also Vektoren \(\vec{x}\in\mathbb{R}^n\) mit \(n \geq 2\) übergegangen sind, können wir auch den Wertebereich von Funktionen erweitern. Wenn die Funktionswerte einer Funktion Vektoren sind, so nennen wir die Funktion vektorwertig.

Was ist … eine vektorwertige Funktion?

Eine vektorwertige Funktion ist eine Funktion, die Vektoren als Wertemenge bzw. Funktionswerte hat. Jedem Punkt \(\vec{x}\in\mathbb{R}^m\) wird eindeutig ein Vektor \(\mathbb{R}^n\) zugeordnet, in mathematischer Notation

\[f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n.\]

Übrigens, in der Physik wird eine vektorwertige Funktion auch oft Vektorfeld genannt.

Eine vektorwertige Funktion \(\vec{f}: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n\) kann durch ihre Komponentenfunktionen dargestellt werden:

\[\begin{split}f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} f_1(\vec{x}) \\ f_2(\vec{x}) \\ \vdots \\ f_n(\vec{x}) \end{pmatrix}.\end{split}\]

Jede Komponentenfunktion \(f_i: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}\) ist dabei eine skalarwertige Funktion.

Video zu “Vektorwertige Funktionen” von Mathematische Methoden

Beispiel einer vektorwertigen Funktion

Betrachten wir eine konkrete vektorwertige Funktion \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\), die jedem Punkt \((x,y)\) in der Ebene einen dreidimensionalen Vektor zuordnet:

\[\begin{split}f(x,y) = \begin{pmatrix} x^2 - y \\ xy \\ x + y^2 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Diese Funktion hat drei Komponentenfunktionen:

• \(f_1(x,y) = x^2 - y\)

• \(f_2(x,y) = xy\)

• \(f_3(x,y) = x + y^2\)

Für den konkreten Punkt \((x,y) = (2,3)\) erhalten wir:

\[\begin{split}f(2,3) = \begin{pmatrix} 2^2 - 3 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 + 3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 11 \end{pmatrix}.\end{split}\]

Geometrisch interpretiert ordnet diese Funktion jedem Punkt der \(xy\)-Ebene einen Vektor im dreidimensionalen Raum zu.

In der folgenden Abbildung finden Sie eine Visualisierung der Funktion. Allerdings können wir nicht zu jedem Punkt der \(xy\)-Ebene die Vektoren darstellen, da wir dann nichts mehr erkennen würden. Wir beschränken uns für die Visualisierung auf \(x \in [-3,3]\) und \(y \in [-3,3]\) und nehmen in beide Richtungen Punkte mit einem Abstand von \(\Delta x =\Delta y = 0.3\). Diese Punkte sind durch kleine Kugeln gekennzeichnet. Die Richtung der Vektoren wird durch Striche dargestellt, wobei die Länge der Striche nur 20 % der Länge der Vektoren beträgt.

Zoomen Sie in die Grafik hinein und drehen Sie sie auch.

Im Folgenden werden auch noch die drei skalarwertigen Komponentenfunktionen einzeln dargestellt.

1. Komponentenfunktion: \(f_1(x,y) = x^2 - y\)

2. Komponentenfunktion: \(f_2(x,y) = xy\)

3. Komponentenfunktion: \(f_3(x,y) = x + y^2\)

Eigenschaften vektorwertiger Funktionen

Vektorwertige Funktionen besitzen ähnliche grundlegende Eigenschaften wie skalarwertige Funktionen, insbesondere in Bezug auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Eine vektorwertige Funktion \(f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n\) ist genau dann stetig in einem Punkt \(\vec{x}_{0}\), wenn alle ihre Komponentenfunktionen in diesem Punkt stetig sind. Analog ist eine vektorwertige Funktion differenzierbar, wenn alle ihre Komponentenfunktionen differenzierbar sind. Die Ableitungen werden dabei in der sogenannten Jacobi-Matrix zusammengefasst, die wir im nächsten Kapitel behandeln werden.

Zusammenfassung und Ausblick

Nachdem wir uns in diesem Kapitel prinzipiell mit vektorwertigen Funktionen beschäftigt haben, werden wir uns im nächsten Kapitel mit der Ableitung einer vektorwertigen Funktion beschäftigen.