10.4 Anwendung: Schwerpunktberechnung

Häufig wird das Doppelintegral dazu benutzt, den Schwerpunkt einer ebenen homogenen Platte zu berechnen.

Lernziele

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Sie können mit dem Doppelintegral den Schwerpunkt \((x_S, y_S)\) einer homogenen ebenen Fläche mit den Formeln

\[x_S = \frac{1}{A}\iint_{A} x \, dA \quad \text{ und } \quad y_S = \frac{1}{A} \iint_{A} y\, dA\]

berechnen.

Schwerpunktberechnung

Für den Schwerpunkt einer ebenen homogenen Fläche gilt für die x-Koordinate die folgende Formel

\[x_S = \frac{1}{A} \int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y=f_u(x)}^{y=f_o(x)} x \, dy \right) \, dx\]

und für die y-Koordinate des Schwerpunkts die Formel

\[y_S = \frac{1}{A} \int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y=f_u(x)}^{y=f_o(x)} y \, dy \right) \, dx.\]

Beispiel Schwerpunktberechnung

Wir bleiben bei dem Beispiel der vorhergehenden Kapitel mit den beiden Funktionen

\[f_o(x) = -x + 1\]

und

\[f_u(x) = x^2 - 5.\]

Aus dem letzten Kapitel wissen wir bereits, dass sich die beiden Funktionen in den Punkten \((-3,4)\) und \((2,-1)\) schneiden.

Fig. 26 Gesucht ist der Schwerpunkt der schraffierten Fläche \(A\), die durch die Gerade \(f_o(x)=-x+1\) und die Parabel \(f_u(x)=x^2-5\) umrandet wird.

Gesucht ist diesmal der Schwerpunkt dieser ebenen homogenen Fläche.

1. Schritt: Berechnung Flächeninhalt \(A\)

Zuerst wird der Flächeninhalt \(A\) mit dem Doppelintegral

\[A= \iint_{A}1\, dA = \int_{x=-3}^{x=2} \left(\int_{y=x^2-5}^{y=-x+1} 1 \; dy\right)dx\]

berechnet. Aus dem letzten Kapitel wissen wir bereits, dass \(A = \frac{125}{6} \approx 20.8333\).

2. Schritt: Berechnung x-Schwerpunkt \(x_S\)

Nun berechnen wir den Schwerpunkt der Fläche in x-Richtung. Dazu wird die Formel

\[x_S = \frac{1}{A} \int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y=f_u(x)}^{y=f_o(x)} x \, dy \right) \, dx\]

verwendet. Zuerst berechnen wir das innere Integral \(I(x)\), indem wir nach \(y\) integrieren:

\[\begin{align*} I(x)&= \int_{y=f_u(x)}^{y=f_o(x)} x \, dy = \\ &= \int_{y=x^2-5}^{y=-x+1} x \, dy = \\ &= \big[ xy \big]_{y=x^2-5}^{y=-x+1} = \\ &= x\cdot(-x+1) - x\cdot(x^2-5) = \\ &= -x^3-x^2+6x. \end{align*}\]

Dann wird das innere Integral in das äußere Integral eingesetzt und nach \(x\) integriert:

\[\begin{align*} \int_{x=-3}^{x=2} -x^3-x^2+6x \, dx &= \left[-\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+3x^2\right]_{x=-3}^{x=2} = \\ &= -\frac{125}{12} \approx -10.417.\\ \end{align*}\]

Nun kann alles in die Formel eingesetzt werden:

\[x_S = \frac{1}{\frac{125}{6}} \cdot \left(-\frac{125}{12}\right) = -\frac{1}{2}.\]

3. Schritt: Berechnung y-Schwerpunkt \(y_S\)

Als letztes wird der Schwerpunkt der Fläche in y-Richtung berechnet. Dazu wird die Formel

\[y_S = \frac{1}{A} \int_{x=a}^{x=b} \left( \int_{y=f_u(x)}^{y=f_o(x)} y \, dy \right) \, dx\]

verwendet. Zunächst berechnen wir wieder einmal nur das innere Integral durch Integration nach \(y\):

\[\begin{align*} I(x) &= \int_{y=x^2-5}^{-x+1} y \, dy = \\ &= \big[\frac{1}{2}y^2 \big]{y=x^2-5}^{-x+1} = \\ &= \frac{1}{2}\left(-x+1\right)^2 - \frac{1}{2}\left( x^2-5\right)^2 = \\ &= -\frac{1}{2}x^4+\frac{11}{2}x^2-x-12. \end{align*}\]

Eingesetzt in das äußere Integral erhalten wir

\[\begin{align*} \int_{x=-3}^{x=2} -\frac{1}{2}x^4+\frac{11}{2}x^2-x-12 \, dx &= \left[-\frac{1}{10}x^5+\frac{11}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-12x \right]_{x=-3}^{x=2} = \\ &= -\frac{125}{6} \approx -20.8333. \end{align*}\]

Nun noch alles in die ursprüngliche Formel einsetzen und wir erhalten für den Schwerpunkt \(y_S\) in y-Richtung:

\[y_S = \frac{1}{\frac{125}{6}} \cdot \left( -\frac{125}{6} \right) = -1.\]

Damit ist der Schwerpunkt der Fläche \((-0.5, -1)\).

Fig. 27 Schwerpunkt der schraffierten Fläche \(A\), die durch die Gerade \(f_o(x)=-x+1\) und die Parabel \(f_u(x)=x^2-5\) umrandet wird.