2.1 Stammfunktion und bestimmtes Integral#
In diesem Abschnitt führen wir zunächst Stammfunktionen und das bestimmte Integral ein, ohne die dazugehörigen Anwendungen und Herleitungen (Riemann-Integral oder Lesbegue-Integral) zu erläutern.
Lernziele#
Lernziele
Sie wissen, was eine Stammfunktion ist.
Sie wissen, dass wenn es eine Stammfunktion gibt, es gleich unendlich viele Stammfunktionen gibt, die sich durch eine Integrationskonstante unterscheiden.
Sie können mit Hilfe der Stammfunktionen ein bestimmtes Integral der Funktion \(f\) in einem Intervall \([a,b]\) berechnen (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).
Sie wissen, wie das bestimmte Integral mathematisch abgekürzt wird, nämlich \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\), und können die einzelnen Bestandteile dieser Notation bezeichnen:
Integralsymbol \(\int\),
untere Integrationsgrenze \(a\),
obere Integrationsgrenze \(b\),
Integrand \(f(x)\),
Integrationsvariable \(dx\).
Sie können das bestimmte Integral über \(f\) von \(a\) nach \(b\) als den Flächeninhalt zwischen Graph \(f(x)\) und x-Achse interpretieren. Flächeninhalte oberhalb der x-Achse sind positiv, Flächeninhalte unterhalb der x-Achse werden negativ gezählt. Daher nennt man diese Flächeninhalte orientierte Flächeninhalte.
Stammfunktion#
Was ist … eine Stammfunktion?
Angenommen, die Funktion \(f\) ist stetig. Dann wird die Funktion \(F\) Stammfunktion von \(f\) genannt, wenn ihre Ableitungsfunktion gleich \(f\) ist, also wenn gilt \(F'(x) = f(x)\).
Beispiel: Wir betrachten die Funktion \(f(x)=x\). Mit ein bisschen Probieren fällt auf, dass die Funktion \(F(x)=\frac{1}{2}x^2\) abgeleitet genau \(x\) ergibt. Also ist die Funktion \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). Jetzt probieren wir die Funktion \(\tilde{F}(x)=\frac{1}{2}x^2+1\) aus. Wenn wir diese Funktion ableiten, kommt
heraus. Das ist aber auch gleich der Funktion \(f\). Welches ist denn nun die richtige Stammfunktion?
Beide Funktionen sind eine Stammfunktion. Wenn eine Funktion \(f\) eine Stammfunktion hat, dann hat sie gleich unendlich viele Stammfunktionen, denn es muss nur eine reelle Zahl hinzuaddiert werden und schon hat man eine neue Stammfunktion.
Wie viele Stammfunktionen gibt es?
Wenn eine Funktion \(f\) eine Stammfunktion hat, hat sie gleich unendlich viele Stammfunktionen. Die Stammfunktionen unterscheiden sich nur dadurch, dass eine reelle Zahl am Ende dazuaddiert wird. Diese Zahl wird Integrationskonstante genannt.
Begründung: Wenn \(F\) die erste gefundene Stammfunktion ist, dann muss ihre 1. Ableitung gleich \(f\) sein, also \(F'(x) = f(x)\) gelten. Dann basteln wir eine neue Funktion \(\tilde{F}(x) = F(x) + c\) mit \(c\in\mathbb{R}\). Das muss dann aber auch eine Stammfunktion sein, denn
Video: Stammfunktion und unbestimmtes Integral
Wichtige Stammfunktionen#
Zu Funktionen, die häufig im Maschinenbau vorkommen, sollten Sie die Stammfunktionen auswendig kennen.
\(f(x) = a \Rightarrow F(x) = ax + c\)
\(f(x) = x^{n} \Rightarrow F(x) = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c\) (\(n\) muss ungleich -1 sein)
\(f(x) = x^{-1}=\frac{1}{x} \Rightarrow F(x) = |\ln(x)| + c\)
\(f(x) = e^{x} \Rightarrow F(x)=e^{x}+c\)
\(f(x) = \sin(x) \Rightarrow F(x)=-\cos(x)+c\)
\(f(x) = \cos(x) \Rightarrow F(x)=\sin(x)+c\)
\(f(x)=\frac{1}{1+x^2} \Rightarrow F(x) = \arctan(x) + c\)
Video: wichtige Stammfunktionen
Bestimmtes Integral#
Stammfunktionen sind für viele technische Anwendungen nützlich, weil sie sozusagen die Umkehrung der Ableitung sind. Das Suchen einer Stammfunktion wird Integration genannt. Eine Anwendung der Stammfunktion ist die Berechnung des sogenannten bestimmten Integrals. Das bestimmte Integral ist wichtig für die Berechnung von Flächeninhalten, Längen von Kurven und Volumen von Rotationskörpern.
Der sogenannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt aus, dass das bestimmte Integral mit Hilfe von Stammfunktionen folgendermaßen berechnet wird.
Wie wird das bestimmte Integral berechnet?
Das bestimmte Integral eine Funktion \(f\) in einem Intervall \([a,b]\) wird berechnet, indem zuerst eine Stammfunktion \(F\) gebildet wird. Dann wird in die Stammfunktion \(F\) zuerst \(b\) eingesetzt und dann \(a\). Aus beiden Werten wird dann die Differenz gebildet. Diese Zahl heißt bestimmtes Integral von \(f\) im Intervall \([a,b]\).
Mathematisch wird dazu folgende Schreibweise verwendet:
Video: bestimmtes Integral
Beispiel für bestimmtes Integral#
Als nächstes soll das bestimmte Integral der Funktion \(f(x)= 5x^2\) im Intervall \([-1,3]\) ausgerechnet werden. Als erstes wird eine Stammfunktion berechnet (geraten):
Danach werden \(a=-1\) und \(b=3\) in die Stammfunktion eingesetzt und die Differenz berechnet:
\(F(-1)=\frac{5}{3}(-1)^3 = -\frac{5}{3}\)
\(F(3) = \frac{5}{3}(3)^3 = 45\)
Differenz: \(F(3) - F(-1) = 45 - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{140}{3}\).
Damit ist das bestimmte Integral der Funktion \(f(x) = 5x^2\) im Intervall \([-1,3]\) die Zahl \(\frac{140}{3}\).
Es ist etwas umständlich, so viel Text in eine Rechnung zu packen. Deshalb ist folgende Schreibweise üblich:
Zuerst kommt die mathematische Schreibweise für das bestimme Integral mit
Das geschwungene \(\int\) wird Integralsymbol genannt. Der Anfang des Intervalls, hier also -1, wird untere Integrationsgrenze genannt. Das Ende des Intervalls, hier also 3, wird obere Integrationsgrenze genannt. Die Funktion, von der die Stammfunktion gesucht wird, hier also \(f(x)=5x^2\, dx\), wird Integrand genannt. Da manchmal Funktionen auch Parameter enthalten, muss eindeutig geklärt werden, welches die Variable der Funktion ist. Das wird durch die Integrationsvariable spezifiziert, hier \(dx\). Warum da ein “d” dabei steht, kommt in einem späteren Kapitel.
In der Rechnung muss als erstes die Stammfunktion \(F\) berechnet werden. Um klar zu machen, dass das jetzt die Stammfunktion ist, werden sehr große eckige Klammern verwendet, hier also \(\left[\frac{5}{3}x^3\right]\). Für die Integrationsvariable \(c\) wählen wir Null. In der anschließenden Differenzbildung würde sie ohnehin wegfallen. Zuletzt folgt noch das Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion. Zuerst wird die obere Integrationsgrenze \(b=3\) eingesetzt, hier also \(F(3)=45\), und dann der Wert der Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze, hier also \(F(-1)=-\frac{5}{3}\) subtrahiert.
Im folgenden Video finden Sie weitere Beispiele.
Video: bestimmtes Interal - Beispiele
Integrale als Fläche interpretiert#
Bisher ist das bestimmte Integral über \(f\) von \(a\) bis \(b\) einfach eine Zahl, die als Differenz von der Stammfunktion \(F\) an den Stellen \(a\) und \(b\) bestimmt wird, also \(F(b)-F(a)\). Je nach Anwendung wird dieser Zahl eine ganz bestimmte Bedeutung gegeben. Als ersten und wichtigsten Fall betrachten wir das Integral in der Geometrie. Hier entspricht das Integral von \(a\) bis \(b\) über \(f\) dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen \(f(x)\) und der x-Achse. Aber was ist eigentlich der orientierte Flächeninhalt?
Wenn alle Funktionswerte \(f(x)\) oberhalb der x-Achse liegen, dann ist \(f(x)\geq 0\) für alle \(x\) im Intervall \([a,b]\). Dann ist der Flächeninhalt zwischen \(f(x)\), der x-Achse und den Geraden \(x=a\) und \(x=b\) gleich dem Integral über \(f\) , d.h.
Liegen aber alle Funktionswerte \(f(x)\) unterhalb der x-Achse, so ist das Integral negativ. Aber eigentlich entspricht es auch der Fläche, nur sind Flächen natürlich immer positiv. Deswegen sagen wir, der Flächeninhalt ist orientiert. Liegt die Fläche oberhalb der x-Achse, so wird diese positiv gewertet. Liegt sie unterhalb der x-Achse, wird der orientierte Flächeninhalt mit einem Minus versehen, um klar zu machen, dass diese Fläche unterhalb der x-Achse liegt.
In dem folgenden Video wird die Flächeninterpretation des Integrals nochmal erläutert und auch gezeigt, wie diese Interpretation bei punktsymmetrischen Funktionen ausgenutzt werden kann, sich selbst das Rechnen etwas zu erleichtern.