Übungen

Übung 1.1

Gehen Sie auf die Trainingsseite Mathebattle: Ableitung ganzrationale Funktionen und lösen Sie solange die dortigen Ableitungsaufgaben, bis Sie drei hintereinander richtig gelöst haben.

Übung 1.2

Gehen Sie auf die Trainingsseite Mathebattle: Ableiten mit x im Nenner und lösen Sie solange die dortigen Ableitungsaufgaben, bis Sie drei hintereinander richtig gelöst haben.

Übung 1.3

Gehen Sie auf die Trainingsseite Mathebattle: Ableiten mit Wurzel und lösen Sie solange die dortigen Ableitungsaufgaben, bis Sie drei hintereinander richtig gelöst haben.

Übung 1.4

Gehen Sie auf die Trainingsseite Mathebattle: Kettenregel und lösen Sie solange die dortigen Ableitungsaufgaben, bis Sie drei hintereinander richtig gelöst haben.

Übung 1.5

Gehen Sie auf die Trainingsseite Mathebattle: Produktregel und lösen Sie solange die dortigen Ableitungsaufgaben, bis Sie drei hintereinander richtig gelöst haben.

Übung 1.6

Gehen Sie auf die Trainingsseite Mathebattle: Ketten- und Produktregel und lösen Sie solange die dortigen Ableitungsaufgaben, bis Sie drei hintereinander richtig gelöst haben.

Übung 1.7

Gehen Sie auf die Trainingsseite Mathebattle: alles zusammen und lösen Sie solange die dortigen Ableitungsaufgaben, bis Sie drei hintereinander richtig gelöst haben.

Übung 1.8

Gehen Sie auf die Trainingsseite Mathebattle: Extrempunkte und lösen Sie solange die dortigen Ableitungsaufgaben, bis Sie drei hintereinander richtig gelöst haben.

Übung 1.9

Ein Rechteckt hat seine obere Seite unter der Parabel \(f(x) = 16 - x^2\) und seine untere Seite auf der x-Achse. Die beiden vertikalen Seiten des Rechtecks sind parallel zur y-Achse. Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechtecks, so dass sein Flächeninhalt maximal ist.

Fertigen Sie dazu eine Skizze an.

Lösung

Die Parabel \(f(x) = -x^2 + 16\) ist symmetrisch zur y-Achse, daher ist auch das Rechteck symmetrisch zur y-Achse. Daher genügt es, nur die rechte Hälfte des Rechtecks zu betrachten und \(x>0\) zu fordern.

Die Hauptbedingung lautet

\[A = x\cdot y.\]

Die Nebenbedingung lautet

\[y = -x^2 + 16.\]

Daraus wird die Zielfunktion

\[A(x) = x \cdot (-x^2 + 16),\]

die maximiert werden soll. Wir vereinfachen die Zielfunktion und erhalten

\[\Rightarrow A(x) = -x^3 + 16x.\]

Wir bilden die 1. Ableitung:

\[A'(x) = -3x^2+16.\]

Notwendige Bedingung für Extremwerte ist, dass \(A'(x)=0\) erfüllt ist. Daher lösen wir die Gleichung

\[-3x^2+16 = 0\]

und erhalten als Lösung \(x_1 = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{3}\) und \(x_2 = -\sqrt{\frac{16}{3}}\). Die negative Stelle \(x_2\) wird nicht weiter betrachtet, da wir nur die rechte Seite des Rechtecks betrachten und daher \(x>0\) vorausgesetzt haben. Als nächstes überprüfen wir mit der 2. Ableitung, ob ein Extremwert vorliegt (hinreichende Bedingung).

\[A''(x) = -6x \quad \Rightarrow A''(x_1) = -6\cdot \frac{4}{3}\sqrt{3} = -8\sqrt{3} < 0.\]

Da die 2. Ableitung an der Stelle \(x_1\) negativ ist, liegt ein Maximum vor. Für das entsprechende \(y_1\) gilt dann

\[y_2 = f(x_1) = 16 - x_1^2 = 16 - \left( \sqrt{\frac{16}{3}}\right)^2 = \frac{32}{3}.\]

Antwort: Somit ist die linke Seite des gesuchten kompletten Rechtecks an der Stelle \(x = -\frac{4}{3}\sqrt{3}\) (was \(x_2\) entspricht) und die rechte Seite an der Stelle \(x = \frac{4}{3}\sqrt{3}\). Die obere Seite liegt bei \(y = \frac{32}{3}\). Der Flächeninhalt des kompletten gesuchten Rechtecke ist

\[A_{\text{gesamt}} = 2 \cdot \frac{4}{3}\sqrt{3} \cdot \frac{32}{3} = \frac{256}{9}\sqrt{3}.\]

Übung 1.10

Ein senkrechter Zylinder wird in eine Kugel mit dem Radius 1 m eingesetzt, so dass beide Mittelpunkte übereinstimmen. Bestimmen Sie Radius \(r\), Höhe \(h\) und Volumen \(V\) des Zylinders, wenn der Zylinder das maximale Volumen haben soll.

Fertigen Sie dazu eine Skizze des Querschnitts an.

Lösung

Die Hauptbedingung (Volumen des Zylinders) lautet

\[V = \pi r^2 \cdot h.\]

Die Nebenbedingung lautet (erkenntlich aus Skizze des Querschnitts)

\[r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = 1.\]

Aufgelöst nach der Höhe \(h\) lautet die Nebenbedingung

\[h = 2\sqrt{1-r^2}.\]

Eingesetzt in die Hauptbedingung erhalten wir die Zielfunktion

\[V(r) = 2\pi r^2 \cdot \sqrt{1-r^2},\]

die maximiert werden soll. Dazu berechnen wir die 1. Ableitung als

\[V'(r) = \frac{4\pi r - 6\pi r^3}{\sqrt{1-r^2}}.\]

Um die möglichen Extremwertstellen zu berechnen (notwendige Bedingung), setzen wir die 1. Ableitung gleich Null:

\[V'(r) = 0 \quad \Rightarrow \frac{4\pi r - 6\pi r^3}{\sqrt{1-r^2}} = 0.\]

Wir multiplizieren die Gleichung auf beiden Seiten mit \(\sqrt{1-r^2}\) und klammern \(r\) aus:

\[\Rightarrow r\cdot \left(4\pi - 6 \pi r^2\right) = 0.\]

Die erste Lösung dieser Gleichung \(r_1 = 0\) verwerfen wir, denn ein Zylinder mit Radius 0 ist nicht existent. Aus \(4\pi - 6 \pi r^2 = 0\) folgen die beiden Lösungen \(r_2 = \sqrt{\frac{2}{3}}\) und \(r_3 = -\sqrt{\frac{2}{3}}\). Die dritte Lösung verwerfen wir ebenfalls, da ein Zylinder keinen negativen Radius haben kann. Wir betrachten nur noch die Stelle \(r_2 = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Um zu überprüfen, ob die Stelle \(r_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{6}\) einen Extremwert hat (hinreichende Bedingung), bilden wir die 2. Ableitung und erhalten nach einigen Umformungen:

\[V''(r) = \frac{2\pi (6r^4 - 9r^2 + 2)}{(1-r^2)^{\frac{3}{2}}}.\]

Setzen wir nun \(r_2 = \frac{1}{3}\sqrt{6}\) in die 2. Ableitung ein, erhalten wir

\[V''\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = -8\pi\sqrt{3} < 0.\]

Somit hat die Zielfunktion \(V(r)\) an der Stelle \(r_2 = \frac{1}{3}\sqrt{6}\) ein Maximum. Die dazugehörige Höhe ist

\[h_2 = 2 \sqrt{1- r_2^2} = \frac{2}{3}\sqrt{3}\]

und das maximale Volumen

\[V = \pi r_2^2 \cdot h_2 = \frac{4}{9}\sqrt{3}\pi.\]