8.3 Jacobi-Matrix

8.3 Jacobi-Matrix#

Der Gradient einer skalarwertigen Funktion entspricht bei vektorwertigen Funktionen der Jacobi-Matrix.

Lernziele#

Lernziel

Sie wissen, wie die Jacobi-Matrix einer vektorwertigen Funktion berechnet wird.

Jacobi-Matrix einer vektorwertigen Funktion#

Die Jacobi-Matrix einer vektorwertigen Funktion von mehreren Variablen ist eine Matrix, die genau wie der Gradient alle partiellen Ableitungen einsammelt. Da aber die Funktionswerte der Matrix selbst Vektoren sind, entsteht eine Matrix.

Kochrezept zur Berechnung der Jacobi-Matrix:

Interpretiere die vektorwertige Funktion zeilenweise als skalarwertige Funktion.
Bilde den Gradienten für jede Zeile.
Schreibe die Gradienten untereinander in eine Matrix.

Die Jacobi-Matrix ist sozusagen die Erweiterung des Gradienten für vektorwertige Funktion von mehreren Variablen.

Beispiel einer Jacobi-Matrix#

Wir schauen uns an dem folgenden Beispiel an, wie die Jacobi-Matrix der vektorwertigen Funktion

\[\begin{split}f:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2 \quad \text{mit} \quad f(x,y,z)=\begin{pmatrix} x^2 + y^3 + \sin(z) \\ z^2\end{pmatrix}\end{split}\]

berechnet wird.

Schritt 1: Die erste Zeile enthält die Funktion \(f_1(x,y,z)=x^2 + y^3 + \sin(z)\) mit dem Gradienten

\[\nabla f_1(x,y,z) = \left(2x , 3y^2, \cos(z)\right).\]

Schritt 2: Die zweite Zeile enthält die Funktion \(f_2(x,y,z)=z^2\) mit dem Gradienten

\[\nabla f_2(x,y,z) = \left(0, 0, 2z\right).\]

Schritt 3: Aus beiden Zeilen wird dann die Matrix zusammengesetzt, die Jacobi-Matrix lautet also

\[\begin{split}J(f)(x,y,z)= \begin{pmatrix} 2x & 3x^2 & \cos(z)\\ 0 & 0 & 2z \end{pmatrix}. \end{split}\]

Weitere Beispiele finden Sie in den folgenden Videos.