9.3 Anwendung: Flächenberechnung

Mit dem Doppelintegral kann auch die Fläche eines Gebietes berechnet werden, das durch zwei Funktionen umrandet wird.

Lernziele

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Sie können mit einem Doppelintegral den Flächeninhalt einer Fläche \(A\) berechnen.

Anwendungen von Doppelintegralen

Der Flächeninhalt kann mit der Formel

\[A = \iint_{A} 1 \, dA = \int_{x=a}^{x=b} \int_{y=f_u(x)}^{y=f_o(x)} 1 \, dy \, dx.\]

berechnet werden, also \(f(x,y)=1\).

Beispiel Doppelintegral zur Flächenberechnung

Gesucht wird der Flächeninhalt \(A\), der durch die Umrandung der beiden Funktionen

\[f_o(x) = -x + 1\]

und

\[f_u(x) = x^2 - 5\]

entsteht. Aus dem letzten Kapitel wissen wir bereits, dass sich die beiden Funktionen in den Punkten \((-3,4)\) und \((2,-1)\) schneiden.

Fig. 22 Gesucht ist der schraffierte Flächeninhalt \(A\), der durch die Gerade \(f_o(x)=-x+1\) und die Parabel \(f_u(x)=x^2-5\) umrandet wird.

Der Flächeninhalt \(A\) lässt sich mit dem Doppelintegral

\[\iint_{A} 1 \, dA = \int_{x=-3}^{x=2} \left(\int_{y=x^2-5}^{y=-x+1} 1 \; dy\right)dx\]

berechnen.

Zuerst wird das innere Integral \(I(x)\) berechnet, indem nach \(y\) integriert wird:

\[\begin{align*} I(x) &= \int_{y=x^2-5}^{y=-x+1} 1 \, dy = \\ &= \left[ y \right]_{y=x^2-5}^{y=-x+1} = \\ &= (-x+1) -(x^2-5) = \\ &= -x^2-x+6. \end{align*}\]

Das innere Integral \(I(x) = -x^2-x+6\) wird nun in das äußere Integral eingesetzt und nach \(x\) integriert:

\[\begin{align*} \int_{x=-3}^{x=2} I(x)\, dx &= \int_{x=-3}^{x=2} -x^2-x+6\, dx =\\ &= \left[-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+6x \right]_{x=-3}^{x=2} = \\ &= \frac{125}{6} \approx 20.8333. \end{align*}\]

Damit gilt insgesamt

\[A= \iint_{A}1\, dA = \int_{x=-3}^{x=2} \left(\int_{y=x^2-5}^{y=-x+1} 1 \; dy\right)dx = \frac{125}{6} \approx 20.8333.\]