4.1 Reihen

4.1 Reihen#

Reihen sind sehr spezielle Folgen. Falls Sie Ihr Wissen über Folgen auffrischen wollen, können Sie die Internetseite Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit aus der Mathematik 1 Vorlesung als Startpunkt nehmen.

Lernziele#

Lernziele

Sie können den Fachbegriff Partialsumme einer Reihe erklären.
Sie können den Fachbegriff Reihe erklären.
Sie wissen, was eine konvergente Reihe ist und wie der Grenzwert bezeichnet wird.
Sie wissen, was eine divergente Reihe ist.
Sie kennen als Beispiel für Reihen die
- geometrische Reihe und
- harmonische Reihe.

Was ist eine Partialsumme und was ist eine Reihe?#

Das Lieblingsbeispiel vieler Mathematiker:innen zur Einführung von Reihen ist das vom griechischem Philosophen Zenon beschriebene Paradoxon von Achilles und der Schildkröte. Wir betrachten hier rein mathematische Beispiele.

Eine Reihe wird aus einer Folge gebildet. Als Beispiel betrachten wir die Folge \((a_k)\) mit \(a_k=\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\). Explizit hingeschrieben lautet die Folge \((a_k)\) also: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{16}\), \(\frac{1}{32}\), usw. Daraus bilden wir eine neue Folge, die wir \((s_n)\) bezeichnen, indem wir Summen nach dem folgenden Schema bilden:

\[\begin{align*} s_1 &= a_1 = \frac{1}{2}\\ s_2 &= a_1 + a_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\\ s_3 &= a_1 + a_2 + a_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\\ \vdots\\ s_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \end{align*}\]

Jedes Folgenglied \((s_n)\) enthält Summen. Jede dieser Summen wird Partialsumme genannt. Die Folge aus Partialsummen wiord Reihe genannt.

Was ist … eine Reihe?

Eine Reihe ist eine Folge, die aus einer anderen Folge durch Summation gebildet wird. Etwas präziser formuliert starten wir mit einer Folge \((a_k)\) und bilden draus die Folge der Partialsummen nach dem Schema

\[s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k.\]

Die Folge \((s_n)\) wird dann Reihe zu der Folge \((a_k)\) genannt.

Konvergenz und Divergenz von Reihen#

Reihen sind also nichts anderes als Folgen. Allerdings haben Reihen eine besondere Struktur, da sie ja sehr systematisch durch Summation aus Folgen gebildet werden. Das hilft später, Kriterien für die Konvergenz und Divergenz von Reihen zu finden, die diese Systematik ausnutzen.

Was ist … eine konvergente Reihe?

Eine Reihe wird konvergent genannt, wenn die Folge der Partialsummen gegen einen Grenzwert konvergiert. Dieser Grenzwert wird dann mit dem mathematischen Symbol

\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k\]

bezeichnet.

Im Falle von Konvergenz wird also einfach der Limes \(\lim_{n \to \infty}\) weggelassen und der Index \(n\) durch das Unendlich-Symbol \(\infty\) ersetzt, wie die rot markierten Bezeichnungen zeigen:

\[\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{\textcolor{red}{n \to \infty}} \sum_{k=1}^{\textcolor{red}{n}} a_k = \sum_{k=1}^{\textcolor{red}{\infty}} a_k.\]

Eigentlich darf diese Bezeichnung nur dann verwendet werden, wenn die Reihe auch wirklich konvergiert. Oft wird diese Bezeichnung aber auch für Reihen im Allgemeinen verwendet.

Was ist … eine divergente Reihe?

Eine Reihe wird divergent genannt, wenn die Folge der Partialsummen divergiert, also nicht gegen einen Grenzwert konvergiert.

Die geometrische Reihe#

Manche Reihen sind wichtiger als andere und haben daher einen eigenen Namen. Die geometrische Reihe gehört zu diesen wichtigen Reihen. Sie heißt geometrische Reihe, weil sie aus der geometrischen Folge gebildet wird.

Zur Erinnerung: eine Folge heißt geometrische Folge, wenn der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder eine konstante Zahl ist. Wird also \(a_2\) durch \(a_1\) geteilt, kommt eine Zahl heraus, die wir \(q\) nennen. Und wird \(a_3\) durch \(a_2\) geteilt, dann kommt auch \(q\) heraus. Und das gleiche gilt für \(a_{4} / a_{3}\) und für \(a_{5} / a_{4}\), es kommt immer \(q\) heraus, also

\[\frac{a_{k+1}}{a_k} = q.\]

Das bedeutet aber auch, dass alle Folgenglieder \(a_k\) auf das erste Folgenglied \(a_1\) zurückgeführt werden können:

\[\begin{align*} a_1 &= a_1 \\ a_2 &= a_1 \cdot q \\ a_3 &= a_2 \cdot q = \left( a_1 \cdot q \right) \cdot q = a_1 \cdot q^2 \\ a_4 &= a_3 \cdot q = \left( a_1 \cdot q^2 \right) \cdot q = a_1 \cdot q^3 \\ \vdots \\ a_{k} &= a_{k-1} \cdot q = a_1 \cdot q^{k-1} \\ \end{align*}\]

Damit haben wir folgende Partialsummen:

\[\begin{align*} s_1 &= a_1 \\ s_2 &= a_1 + a_2 = a_1 + a_1 \cdot q = a_1 \cdot \big(1 + q\big) \\ s_3 &= a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 = a_1 \cdot \big(1 + q + q^2\big) \\ \vdots \\ s_n &= a_1 + a_2 + \dots + a_n = a_1 + a_1 \cdot q + \ldots + a_1 \cdot q^{n-1} = a_1 \cdot \big(1 + q + \ldots q^{n-1}\big) \\ \end{align*}\]

Was ist … die geometrische Reihe?

Die geometrische Reihe ist die Folge \((s_n)\) der Partialsummen

\[s_n = 1 + q + q^2 + q^3 + \ldots + q^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} q^{k}.\]

Falls Sie sich wundern, dass wir diesmal mit \(k=0\) als Index anfangen, das ist einfach praktischer, weil \(q^{0} = 1\) gilt und wir uns umständliche Schreibweisen sparen können.

Was die Konvergenz bzw. Divergenz anbelangt, es kommt auf die Zahl \(q\) an, ob die geometrische Reihe konvergiert oder divergiert.

Wann konvergiert die geometrische Reihe?

Wenn der Betrag der Zahl \(q\) kleiner als Eins ist, also \(|q|<1\) gilt, dann konvergiert die geometrische Reihe und ihr Grenzwert ist

\[\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}.\]

Für \(|q|\geq 1\) divergiert die geometrische Reihe.

Die harmonische Reihe#

Jetzt haben wir uns das Beispiel einer konvergenten Reihe angesehen (zumindestens, wenn \(|q|<1\)), jetzt kommt eine berühmte divergente Reihe, die harmonische Reihe.

Was ist … die hamonische Reihe?

Die harmonische Reihe wird aus der Summe der harmonischen Folge \(a_k = \frac{1}{k}\) gebildet:

\[s_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.\]

Sie ist divergent.