2.3 Bogenlänge#

Nachdem wir bisher das Integral dazu genutzt haben, Flächen zu berechnen, wird das Integral in diesem Abschnitt dazu genutzt, Längen zu berechnen.

Lernziele#

Lernziele

  • Sie wissen, was die Bogenlänge eines Funktionsgraphens ist.

  • Sie können die Bogenlänge eines Funktionsgraphens f(x) einer stetig differenzierbaren Funktion f zwischen dem Startpunkt (a,f(a)) und dem Endpunkt (b,f(b)) mit der folgenden Formel berechnen:

Bogenlänge=ab1+(f(x))2dx.

Länge eines Funktionsgraphens#

Was ist … die Bogenlänge?

Die Bogenlänge eines Funktionsgraphens ist die Strecke, die man zwischen Start und Ziel zurücklegt. Start und Ziel sind dabei zwei Punkte, die beide auf dem Funktionsgraphen liegen.

Wie wird die Bogenlänge berechnet?#

Solange wir nicht mit einem Kilometerzähler einen Funktionsgraphen abfahren, brauchen wir ein anderes Hilfsmittel, um die Streckenlänge zu berechnen. Für Funktionen, die stetig differenzierbar sind, gibt es eine passende Formel. Stetig differenzierbare Funktion heißt, dass die Funktion eine 1. Ableitung haben muss und diese Ableitung soll wiederum stetig sein. Die üblichen Funktionen in den Ingenieurwissenschaften erfüllen diese Bedingung, so dass Sie sich im Normalfall keine Gedanken um diese Bedingung machen müssen.

Kochrezept zur Berechnung der Bogenlänge

Wenn die Bogenlänge des Funktionsgraphens f(x) vom Startpunkt (a,f(a)) bis zum Endpunkt (b,f(b)) berechnet werden soll und die Funktion f stetig differenzierbar ist, gehen Sie folgenermaßen vor:

  1. Berechnen Sie die 1. Ableitung f.

  2. Quadrieren Sie die 1. Ableitung und versuchen Sie, den Term 1+(f(x))2 so weit wie möglich zu vereinfachen.

  3. Berechnen Sie dann das folgende Integral (oft müssen Sie dabei die Substitutionsregel benutzen):

Bogenlänge=ab1+(f(x))2dx.

Beispiel zur Berechnung der Bogenlänge#

Als nächstes betrachten wir die Funktion f(x)=x32+1 für positive reelle Zahlen x0. Wir wählen als

  • Start a=1f(1)=132+1=2 und als

  • Ziel b=4f(4)=432+1=8+1=9,

also den Start (1,2) und das Ziel (4,9). Die Formel für die Bogenlänge beinhaltet den Term (f(x))2, also das Quadrat der 1. Ableitung. Diesen Term berechnen wir vorab in einer Nebenrechnung. Zuerst wird die 1. Ableitung berechnet:

f(x)=x32+1f(x)=32x12=32x.

Damit erhalten wir

(f(x))2=(32x)2=94x.

Der Term 1+94x lässt sich leider nicht weiter vereinfachen, so dass für die Berechnung des Integrals

L=141+94xdx

die Substitutionsregel benutzt werden muss. Wir setzen z=1+94x. Dann gilt

L=141+94xdx==z49dz=4923[z32]==827[(1+94x)32]14=7.6337.

In dem folgenden Video wird ein zweites Beispiel vorgeführt.

Video “Wie lang ist die Kurve” von Mathematrick

Wie kommt man auf die Formel zur Berechnung der Bogenlänge?#

Um zu erklären, wie die Formel zur Berechnung der Bogenlänge enstanden ist, betrachten wir das folgende Beispiel: f(x)=x34x2+2x+5. Der Start soll bei (1,4) liegen, Endpunkt ist (4,13). Die einfachste Näherung der Bogenlänge ist die Luftlinie, also die die direkte Strecke zwischen Start und Ziel. Das lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

LΔx2+Δy2=(41)2+(134)2=9+81=108.

Dies ist nur eine grobe Näherung an die echte Bogenlänge. Besser wird es mit zwei Zwischenstopps.

L(Δx1)2+(Δy1)2+(Δx2)2+(Δy2)2+(Δx3)2+(Δy3)2.

Zwei Zwischenstopps ergeben drei Luftlinienstücke, deren Summe eine Schätzung für die echte Bogenlänge ist. Noch besser wird es, wenn es noch mehr Zwischenstopps gibt. Am einfachsten ist es, wenn wir immer den gleichen Abstand auf der x-Achse für die Zwischenstopps wählen, nämlich Δx=baN. Dann sind es N Luftlinienstücke, die aufsummiert werden.

LL1+L2++LN=(Δx)2+(Δy1)2+(Δx)2+(Δy2)2++(Δx)2+(ΔyN)2=i=1N(Δx)2+(Δyi)2.

Jetzt wird ein Trick angewandet. Der Term (Δx)2 wird ausgeklammert:

Li=1N(1+(Δyi)2(Δx)2)(Δx)2.

Somit kann die Wurzel (Δx)2 vereinfacht werden ud wir haben

Li=1N(1+(ΔyiΔx)2)Δx.

Das war aber nicht der eigentliche Grund, warum wir den Trick mit dem Ausklammern angewendet haben. Der wahre Grund ist, dass nun der Term

ΔyiΔx

unter der Wurzel steht (etwas präziser steht (ΔyiΔx)2 unter der Wurzel). Und das ist ein Term, den wir bereits sehr gut kennen. Er wird Differenzenquotient genannt. Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung der Sekante.

Wenn wir jetzt mehr und mehr Zwischenstopps einfügen, passiert Folgendes. Aus der Summe wird ein Integral. Wenn die Funktion f differenzierbar ist und die 1. Ableitung stetig, konvergiert der Deifferenzenquotient gegen den Differentialquotienten dydz, also die 1. Ableitung. Und die Differenz Δx wird zum Differential dx. Im Grenzwert steht dann also Folgendes da:

L=limNi=1N1+(ΔyiΔx)2Δx=ab1+f(x)dx.

Und so kann man die Formel zur Berechnung der Bogenlänge begründen.