2.3 Partielle Integration

Wird ein Produkt abgeleitet, ist es etwas komplizierter. Es darf nicht einfach jeder Faktor für sich abgeleitet werden, sondern es gilt die Produktregel:

\[\left( u(x)\cdot v(x)\right)^{\prime} = u^{\prime}(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^{\prime}(x).\]

Da Integration die Umkehrung der Ableitung ist, dürfen Produkte auch nicht einfach so integriert werden. Dafür gibt es die Produktregel für Integrale, die offiziell partielle Integration heißt.

Lernziele

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Sie können ein Produkt von zwei Funktionen \(u\cdot v\) mit der partiellen Integrationsregel im Intervall \([a,b]\) integrieren:

\[\int_{a}^{b} u(x) \cdot v'(x) \, dx = \big[u(x)\cdot v(x)\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) \cdot v(x) \, dx.\]

Integrieren von Produkten

Die partielle Integration kann durch folgende Formel ausgedrückt werden:

\[\int_{a}^{b} u(x) \cdot v'(x) \, dx = \big[u(x)\cdot v(x)\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) \cdot v(x) \, dx.\]

Hierbei sind \(u(x)\) und \(v(x)\) zwei Funktionen, deren Produkt integriert werden soll, und \(u'(x)\) und \(v'(x)\) sind die Ableitungen von \(u(x)\) und \(v(x)\).

Beispiel für partielle Integration

Ein Beispiel für die Anwendung der partiellen Integration ist die Berechnung des Integrals

\[\int_{0}^{\pi} \sin(x)\cdot 2x \, dx.\]

Als erstes müssen wir auswählen, welche Funktion \(u\) sein soll und was \(v\). Wir wählen

\[u(x)=2x \quad \text{ und } \quad v'(x)=\sin(x).\]

Dann werden in einer Nebenrechnung die Ableitung \(u^{\prime}\) von \(u\) und eine Stammfunktion \(v\) von \(v^{\prime}\) ausgerechnet:

\[u^{\prime}(x) = 2 \quad \text{ und } \quad v(x)=-\cos(x).\]

Das wird alles in die obige Formel eingesetzt:

\[\int_{0}^{\pi} \sin(x)\cdot 2x \, dx = \big[2x \cdot \left(-\cos(x)\right)\big]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 2 \cdot (-\cos(x)) \, dx.\]

Das bestimmte Integral \(\big[2x \cdot \left(-\cos(x)\right)\big]_{0}^{\pi}\) können wir jetzt zwar direkt ausrechnen, aber übrig bleibt noch das Integral \(\int_{0}^{\pi} 2 \cdot (-\cos(x)) \, dx\), das noch weiter ausgerechnet werden muss.

Aber das geht jetzt relativ leicht, denn von der Funktion \(v(x)=-\cos(x)\) kennen wir ebenfalls eine Stammfunktion, nämlich \(V(x)=-\sin(x)\). Daher ist \(\int_{0}^{\pi} 2 \cdot (-\cos(x)) \, dx = 2 \big[-\sin(x)\big]_{0}^{\pi}\) und insgesamt gilt dann:

\[\int_{0}^{\pi} \sin(x)\cdot 2x \, dx = \big[2x \cdot \left(-\cos(x)\right)\big]_{0}^{\pi} - 2 \big[-\sin(x)\big]_{0}^{\pi}.\]

Jetzt werden obere und untere Grenze eingesetzt und die Differenz gebildet. Das Ergebnis ist

\[\int_{0}^{\pi} \sin(x)\cdot 2x \, dx = 2\pi.\]

Achtung: Hätten wir eine andere Wahl getroffen, nämlich

\[u(x)=\sin(x) \quad \text{ und } \quad v'(x)=2x,\]

dann wäre die Suche nach der Stammfunktion von \(v'\) zwar einfacher gelaufen (das wäre \(v(x)=x^2\) gewesen), aber insgesamt wäre es zu kompliziert, denn wir hätten

\[\int_{0}^{\pi} \sin(x)\cdot 2x \, dx = \big[\sin(x)\cdot x^2 \big]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \cos(x)\cdot x^2 \, dx.\]

Das letzte Integral kann nicht gelöst werden.

Weiteres Lernmaterial

Hier finden Sie noch zwei Videos, in denen die partielle Integration erklärt wird und an Beispielen vorgeführt wird.